Seja phi: R R uma função (de uma variável) diferenciável, tal que phi^prime(1)=4. Defina g(x, y)=phi(xy).
Verifique que
x gx(x, y)+y gy(x, y)=0
para todo (x, y) in R^2 com y neq 0.

Passo 1

O exercício define uma função phi: RtoR diferenciável e constrói g(x,y)=phil(tfracxyr). Queremos mostrar que x,gx(x,y)+y,gy(x,y)=0 para yneq0. Para isso, vamos usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Derivada parcial de g em relação a x:
gx(x,y) = phi'!l(tfracxyr)cdot partialpartial xl(tfracxyr) = phi'!l(tfracxyr)cdot 1y

Passo 3

Derivada parcial de g em relação a y:
gy(x,y) = phi'!l(tfracxyr)cdot partialpartial yl(tfracxyr) = phi'!l(tfracxyr)cdot l(-xy^2r) = -xy^2,phi'!l(tfracxyr)

Passo 4

Agora basta combinar as duas derivadas parciais:
x,gx(x,y)+y,gy(x,y) = xcdotphi'!l(tfracxyr)1y + ycdotl(-xy^2,phi'!l(tfracxyr)r) = phi'!l(tfracxyr)l(xy-xyr) = 0
Assim, mostramos que x gx(x,y)+y gy(x,y)=0 para todo yneq0.

Resposta

0

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