Utilizando coordenadas esféricas, calcule
, onde
é o sólido limitado pelas superfícies
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre o sólido
. Esse sólido é limitado pelas superfícies
,
e
. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com problemas que têm simetria radial, ou seja, que dependem da distância do ponto em relação à origem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido
:
-
: Essa é a equação de um cone com vértice na origem e simetria em torno do eixo . -
: Essa é a parte superior da esfera de raio 1 centrada na origem. -
: Essa é a parte superior da esfera de raio 2 centrada na origem.
Passo 3
Agora, vamos passar para as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, temos:
E o volume elementar é dado por
.
Passo 4
Vamos reescrever as equações das superfícies em coordenadas esféricas:
- Para o cone
: - Para a esfera de raio 1:
- Para a esfera de raio 2:
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração:
-
varia de a (completando a volta em torno do eixo ). -
varia de a (do eixo até o cone). -
varia de a (entre as superfícies das duas esferas).
Passo 6
Vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas:
Passo 7
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 8
Agora, nossa integral fica:
Como a expressão não depende de
, a integração em
é simples:
Passo 9
A integral agora é:
Vamos integrar em
primeiro:
A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 10
Finalmente, a integral em
é:
Resposta
Portanto, o valor da integral tripla é
.