Utilizando coordenadas esféricas, calcule integral triplaE 1z^2 d V, onde E é o sólido limitado pelas superfícies z-raizx^2+y^2, z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz4-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla de 1z^2 sobre o sólido E. Esse sólido é limitado pelas superfícies z = raizx^2 + y^2, z = raiz1 - x^2 - y^2 e z = raiz4 - x^2 - y^2. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para lidar com problemas que têm simetria radial, ou seja, que dependem da distância do ponto em relação à origem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que limitam o sólido E:
  1. z = raizx^2 + y^2: Essa é a equação de um cone com vértice na origem e simetria em torno do eixo z.
  2. z = raiz1 - x^2 - y^2: Essa é a parte superior da esfera de raio 1 centrada na origem.
  3. z = raiz4 - x^2 - y^2: Essa é a parte superior da esfera de raio 2 centrada na origem.

Passo 3

Agora, vamos passar para as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, temos:
  • x = rho sinphi costheta
  • y = rho sinphi sintheta
  • z = rho cosphi
E o volume elementar é dado por dV = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta.

Passo 4

Vamos reescrever as equações das superfícies em coordenadas esféricas:
  1. Para o cone z = raizx^2 + y^2: rho cosphi = rho sinphi Rightarrow tanphi = 1 Rightarrow phi = pi4
  2. Para a esfera de raio 1: rho = 1
  3. Para a esfera de raio 2: rho = 2

Passo 5

Agora, vamos determinar os limites de integração:
  • theta varia de 0 a 2pi (completando a volta em torno do eixo z).
  • phi varia de 0 a pi4 (do eixo z até o cone).
  • rho varia de 1 a 2 (entre as superfícies das duas esferas).

Passo 6

Vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaE 1z^2 , dV = integral0^2pi integral0^pi4 integral1^2 1(rho cosphi)^2 cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta

Passo 7

Simplificando a expressão dentro da integral:
1(rho cosphi)^2 cdot rho^2 sinphi = rho^2rho^2 cos^2phi cdot sinphi = sinphicos^2phi = tanphi secphi

Passo 8

Agora, nossa integral fica:
integral0^2pi integral0^pi4 integral1^2 tanphi secphi , drho , dphi , dtheta
Como a expressão não depende de rho, a integração em rho é simples:
integral1^2 drho = 2 - 1 = 1

Passo 9

A integral agora é:
integral0^2pi integral0^pi4 tanphi secphi , dphi , dtheta
Vamos integrar em phi primeiro:
A integral de tanphi secphi em relação a phi é secphi. Então:
integral0^pi4 tanphi secphi , dphi = [ secphi ]0^pi4 = sec( pi4 ) - sec0 = raiz2 - 1

Passo 10

Finalmente, a integral em theta é:
integral0^2pi (raiz2 - 1) , dtheta = (raiz2 - 1) cdot 2pi = 2pi (raiz2 - 1)

Resposta

Portanto, o valor da integral tripla é 2pi (raiz2 - 1).

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