Os bombeiros precisam resgatar uma pessoa que está no 3^{0} andar de um prédio, a 10 metros de altura. A escada do caminhão forma um ângulo de 70^{\circ} com o solo. Qual deve ser o comprimento da escada?

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da escada que, apoiada no solo, forma um ângulo de 70^\circ com o solo e atinge a pessoa que está a 10 metros de altura (no 3^{0} andar). Informações dadas:
  • altura vertical alcançada (lado oposto ao ângulo): 10\\ \text{m};
  • ângulo entre escada e solo: 70^\circ;
  • incógnita: comprimento da escada (hipotenusa) — chamar de L.

Passo 2

Modelagem geométrica: a escada, o solo e a vertical que vai do solo até a pessoa formam um triângulo retângulo. Nesse triângulo:
  • a hipotenusa é a escada de comprimento L;
  • o cateto oposto ao ângulo de 70^\circ é a altura 10\\ \text{m};
  • o ângulo dado está na base junto ao solo.

Passo 3

Relembrando a definição trigonométrica que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para um ângulo \theta em um triângulo retângulo, \sin\theta é a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da hipotenusa:
\sin\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
Aqui \theta=70^\circ, o cateto oposto é 10 e a hipotenusa é L. Portanto podemos escrever a relação trigonométrica para este triângulo.

Passo 4

Escrever a equação e isolar L:
\sin 70^\circ=\frac{10}{L}.
Isolando L temos
L=\frac{10}{\sin 70^\circ}.

Passo 5

Avaliação numérica (uso de tabela trigonométrica ou calculadora científica; em prova geralmente é permitido ou fornecido seno):
  • valor aproximado de \sin 70^\circ: \sin 70^\circ\approx 0,9396926.
  • calcular L:
L\approx\frac{10}{0,9396926}\approx 10,6418\\ \text{m}.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em comprimento de escada):
L\approx 10,64\\ \text{m}.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova: a escada deve ter comprimento maior que a altura (porque é a hipotenusa). Use sempre a relação trigonométrica que relaciona cateto oposto e hipotenusa (seno) quando o ângulo com o solo e a altura são os dados — isso funciona para qualquer problema semelhante.

Resposta

10,64\\ \text{m}

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