Seja f(x, y)=(x-y)/(x+y). Determine as direções de u e os valores de D_u f(-1/2, 3/2) para os quais: (b) D_u f(-1/2, 3/2) = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar as direções do vetor e os valores do derivada direcional que satisfazem .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional e gradiente de uma função. A derivada direcional nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica, e o gradiente aponta na direção de maior aumento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é dado pela derivada parcial em relação a e :
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :
Substituindo na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto dado é .

Passo 4

A derivada direcional na direção do vetor unitário é dada por:
Queremos que essa derivada direcional seja igual a zero:
Também, para que seja uma direção válida, ele deve ser um vetor unitário, ou seja:

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver a primeira equação para :
Substituindo na segunda equação:
Então,

Resposta

As direções são:
E os valores de são igual a zero nessas direções.

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