Seja
. Determine as direções de
e os valores de
para os quais: (b)
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar as direções do vetor
e os valores do derivada direcional
que satisfazem
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivada direcional e gradiente de uma função. A derivada direcional nos diz a taxa de variação da função em uma direção específica, e o gradiente aponta na direção de maior aumento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é dado pela derivada parcial em relação a
e
:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Substituindo na expressão do gradiente:
Portanto, o gradiente no ponto dado é
.
Passo 4
A derivada direcional na direção do vetor unitário
é dada por:
Queremos que essa derivada direcional seja igual a zero:
Também, para que
seja uma direção válida, ele deve ser um vetor unitário, ou seja:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver a primeira equação para
:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Resposta
As direções
são:
E os valores de
são igual a zero nessas direções.