Seja f: (0, infinito) -> R dada por:
f(x) = x^3 ln(x) - x^3 / 3
Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida para todos os números positivos:
O objetivo aqui é encontrar onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos locais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar esses pontos de interesse.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo. Vamos derivar cada termo separadamente.
A derivada de usa a regra do produto:
A derivada de é:
Então, juntando tudo, a derivada da função é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), vamos igualar a derivada a zero:
Como nunca é zero para , temos que:
Resolvendo para :
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo, vamos usar a segunda derivada. Vamos calcular .
A primeira derivada é:
Derivando novamente:

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico :
Como , isso indica que a função tem um mínimo local em .

Resposta

A função tem um mínimo local em .

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