Seja
dada por:
Encontrar os valores de máximos e mínimos locais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida para todos os números positivos:
O objetivo aqui é encontrar onde essa função atinge seus valores máximos e mínimos locais. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar esses pontos de interesse.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está crescendo ou diminuindo. Vamos derivar cada termo separadamente.
A derivada de
usa a regra do produto:
A derivada de
é:
Então, juntando tudo, a derivada da função é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a função pode ter máximos ou mínimos), vamos igualar a derivada a zero:
Como
nunca é zero para
, temos que:
Resolvendo para
:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo, vamos usar a segunda derivada. Vamos calcular
.
A primeira derivada é:
Derivando novamente:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico
:
Como
, isso indica que a função tem um mínimo local em
.
Resposta
A função
tem um mínimo local em
.