Encontre a solução da EDO y' = -x/y e determine o campo de direções dela (Utilize algum software)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente de equações diferenciais. Para resolver essa EDO, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Além disso, vamos determinar o campo de direções usando um software, como o GeoGebra ou o Desmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a EDO nos diz. A equação relaciona a derivada de em relação a com os valores de e . Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa relação.

Passo 3

Para resolver essa EDO, vamos usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com fiquem de um lado e os termos com do outro lado.
Começamos escrevendo:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar a solução geral. A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:
Onde e são constantes de integração.

Passo 5

Igualando as integrais:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Como é apenas uma constante geral, podemos renomeá-la como :

Passo 6

Essa equação é a equação geral de um círculo com centro na origem e raio . Portanto, todas as soluções da EDO são curvas circulares centradas na origem.
Para determinar o campo de direções, você pode usar um software como o GeoGebra ou o Desmos. Basta inserir a equação diferencial e o software irá plotar as curvas correspondentes, mostrando as direções das tangentes em cada ponto.

Resposta

A solução geral da EDO é , onde é uma constante real.

Exercícios relacionados