Seja
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Mostre, usando a definição, que 4 é valor máximo local (e absoluto) de
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Mostre, usando a definição, que 4 é valor máximo local (e absoluto) de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando definição formal, que 4 é valor máximo local (e também absoluto) da função f(x,y)=–(x+3)²–(y+1)²+4; o conteúdo aqui é extrema de funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de máximo local (com δ–ε) e analisar o valor de f em toda R² para concluir ser também absoluto.
Passo 2
Primeiro observamos que o ponto crítico de f é (x,y)=(-3,-1), pois ali se anula a parte variável; substituindo, temos f(-3,-1)=4.
Passo 3
Agora, definimos u=x+3 e v=y+1 para reescrever f em torno do ponto crítico:
Passo 4
Com isso, seja qualquer δ>0. Se 0<√(u²+v²)<δ então u²+v²>0 e assim f(x,y)=4-(u²+v²)<4. Isso mostra pela definição de máximo local que existe vizinhança (bola de raio δ) em torno de (-3,-1) em que f(x,y)≤4=f(-3,-1), com estrita desigualdade sempre que (x,y)≠(-3,-1).
Passo 5
Finalmente, para qualquer (x,y) em R² temos u²+v²≥0, logo f(x,y)=4-(u²+v²)≤4 e a igualdade só ocorre em u=v=0, ou seja, em (x,y)=(-3,-1). Portanto 4 é também valor máximo absoluto de f.
Resposta
4 é o valor máximo local e absoluto de f, atingido no ponto (-3,-1).