Seja f(x, y)=-(x+3)^2-(y+1)^2+4.
Mostre, usando a definição, que 4 é valor máximo local (e absoluto) de f.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando definição formal, que 4 é valor máximo local (e também absoluto) da função f(x,y)=–(x+3)²–(y+1)²+4; o conteúdo aqui é extrema de funções de duas variáveis e vamos precisar usar a definição de máximo local (com δ–ε) e analisar o valor de f em toda R² para concluir ser também absoluto.

Passo 2

Primeiro observamos que o ponto crítico de f é (x,y)=(-3,-1), pois ali se anula a parte variável; substituindo, temos f(-3,-1)=4.

Passo 3

Agora, definimos u=x+3 e v=y+1 para reescrever f em torno do ponto crítico:
f(x,y)=-(x+3)^2-(y+1)^2+4 = -l(u^2+v^2r)+4 = 4 - (u^2+v^2)

Passo 4

Com isso, seja qualquer δ>0. Se 0<√(u²+v²)<δ então u²+v²>0 e assim f(x,y)=4-(u²+v²)<4. Isso mostra pela definição de máximo local que existe vizinhança (bola de raio δ) em torno de (-3,-1) em que f(x,y)≤4=f(-3,-1), com estrita desigualdade sempre que (x,y)≠(-3,-1).

Passo 5

Finalmente, para qualquer (x,y) em R² temos u²+v²≥0, logo f(x,y)=4-(u²+v²)≤4 e a igualdade só ocorre em u=v=0, ou seja, em (x,y)=(-3,-1). Portanto 4 é também valor máximo absoluto de f.

Resposta

4 é o valor máximo local e absoluto de f, atingido no ponto (-3,-1).

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