Seja
f(x, y)=(2 x+y) .
Calcule:
\frac{\partial f}{\partial x}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x,y)=(2x+y). A pergunta é: calcular a derivada parcial de f em relação a x, ou seja \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}. Informações relevantes: a função depende de duas variáveis x e y; nada mais é dado sobre x e y, então a derivada parcial deve ser expressa em termos de x e y (se dependerem).

Passo 2

O que é derivada parcial em x? Vou dar a definição formal e depois a intuição. A definição por limite é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h},
onde y é mantido fixo (tratado como uma constante) enquanto só x varia por h. Intuição: para calcular \partial f/\partial x considera-se como f muda quando só mexemos em x, como se y fosse um número fixo.

Passo 3

Aplicando a definição à função \displaystyle f(x,y)=2x+y. Primeiro calcule f(x+h,y):
f(x+h,y)=2(x+h)+y=2x+2h+y.
Agora a diferença do numerador da definição:
f(x+h,y)-f(x,y)=(2x+2h+y)-(2x+y)=2h.
Dividindo por h e tomando o limite:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{2h}{h}=2, \qquad\text{para }h\neq0.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}2=2.

Passo 4

Interpretação mais direta (sem limite): como y é tratado como constante ao derivar em relação a x, \displaystyle \frac{d}{dx}(2x)=2 e \displaystyle \frac{d}{dx}(y)=0. Assim \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2+0=2. Dica prática para a prova: identifique os termos que contêm x e derivate normalmente; qualquer termo que não contenha x vira zero.

Passo 5

Exemplo rápido extra pra fixar: se g(x,y)=x^2y+3x+5y, então tratando y como constante,
\frac{\partial g}{\partial x}=2x\cdot y + 3 + 0 = 2xy+3.
Ou seja, multiplica-se pela potência como na derivada usual e mantém y como fator constante.

Resposta

2

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