Seja
uma função de classe
e seja
um ponto no interior do domínio de
. Suponha que
seja um ponto crítico. Mostre que
e
é uma condição necessária para que
seja um ponto de máximo local de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
- Temos uma função
de classe (ou seja, duas derivadas contínuas) definida num aberto que contém o ponto . - O ponto
está no interior do domínio de . - Foi dito que
é um ponto crítico (isto é, as derivadas parciais existem em e, normalmente, o gradiente em é relevante). - Queremos mostrar que
é uma condição necessária para que
seja um ponto de máximo local de
.
Observação: não vamos assumir nada além do enunciado; em particular usaremos a definição de máximo local e das derivadas direcionais/parciais.
Passo 2
Relembrando a definição de máximo local (com jeitinho didático):
Dizemos que é um ponto de máximo local de
se existe um raio
tal que, para todo ponto
com distância menor que
de
, temos
Dizemos que
Em palavras: dentro de uma bolinha ao redor de
, o valor de
nunca ultrapassa
. Isso significa que, ao nos movermos um pouquinho para qualquer direção a partir de
, o valor de
não aumenta (pode ficar igual ou diminuir).
Passo 3
Definição de derivada direcional e relação com diferença quociente (explicando devagar):
Se eu me mover na direção do vetor unitário , a derivada direcional de
em
na direção
é
Se eu me mover na direção do vetor unitário
quando esse limite existe. Intuição: é a velocidade instantânea de variação de
quando sigo a reta em direção
. Para a direção canônica do eixo
(vetor
), a derivada direcional coincide com a derivada parcial em
, isto é
desde que a derivada parcial exista. O mesmo vale para
e
.
Passo 4
Usando que
é máximo local para obter desigualdade para a derivada direcional na direção positiva do eixo
:
Se é máximo local, então, para todo
suficientemente pequeno e positivo, o ponto
está dentro da bolinha onde
não ultrapassa
. Logo para
pequeno:
Se
Dividindo por
obtemos
Agora fazemos
. Se o limite lateral à direita existir, temos a derivada direcional à direita (o que corresponde à derivada parcial direita):
Portanto a derivada direcional na direção
pelo lado direito é
.
Passo 5
Análogo para a direção negativa e conclusão sobre as derivadas laterais:
Ainda que o passo anterior trate , para
pequeno (ou seja, mover-se na direção
) também vale
. Fazendo
e dividindo por
(negativo) obtemos
Ainda que o passo anterior trate
Fazendo
temos a desigualdade para o limite lateral à esquerda:
Ou seja, a derivada direcional pela esquerda é
, enquanto a da direita é
.
Passo 6
Como
é diferenciável em
(ela é de classe
, então é diferenciável), as derivadas laterais à esquerda e à direita em cada coordenada existem e são iguais: a derivada parcial
existe e vale o mesmo que os limites laterais. Combinando com as desigualdades dos passos anteriores obtemos
e simultaneamente
A única maneira de uma quantidade ser ao mesmo tempo
e
é ser igual a zero. Portanto
Em particular fica satisfeita a desigualdade pedida
.
Passo 7
Repetimos o raciocínio para as outras coordenadas
e
:
- Para a direção
(movimentos em ) obtemos as mesmas desigualdades para os quocientes de diferenças pela direita e pela esquerda; pela diferenciabilidade em a derivada parcial em existe e deve ser zero. Logo , e portanto . - O mesmo para
: , logo .
Passo 8
Juntando tudo: se
é ponto de máximo local e
é
(logo diferenciável) então as derivadas parciais em
existem e valem zero. Assim as desigualdades pedidas são obedecidas. Portanto a condição
é necessariamente satisfeita por um ponto de máximo local; na verdade, para ponto máximo interior e
obtemos igualdade
.