Seja f(x, y, z) uma função de classe C^{2} e seja p=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) um ponto no interior do domínio de f. Suponha que p seja um ponto crítico. Mostre que
\frac{\partial f}{\partial x}(p) \leq 0, \frac{\partial f}{\partial y}(p) \leq 0 e \frac{\partial f}{\partial z}(p) \leq 0 é uma condição necessária para que p seja um ponto de máximo local de f

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isso:
  • Temos uma função f(x,y,z) de classe C^{2} (ou seja, duas derivadas contínuas) definida num aberto que contém o ponto p=(x_{0},y_{0},z_{0}).
  • O ponto p está no interior do domínio de f.
  • Foi dito que p é um ponto crítico (isto é, as derivadas parciais existem em p e, normalmente, o gradiente em p é relevante).
  • Queremos mostrar que
\frac{\partial f}{\partial x}(p)\le 0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(p)\le 0,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}(p)\le 0
é uma condição necessária para que p seja um ponto de máximo local de f.
Observação: não vamos assumir nada além do enunciado; em particular usaremos a definição de máximo local e das derivadas direcionais/parciais.

Passo 2

Relembrando a definição de máximo local (com jeitinho didático):
Dizemos que p é um ponto de máximo local de f se existe um raio r>0 tal que, para todo ponto (x,y,z) com distância menor que r de p, temos
f(x,y,z)\le f(p).
Em palavras: dentro de uma bolinha ao redor de p, o valor de f nunca ultrapassa f(p). Isso significa que, ao nos movermos um pouquinho para qualquer direção a partir de p, o valor de f não aumenta (pode ficar igual ou diminuir).

Passo 3

Definição de derivada direcional e relação com diferença quociente (explicando devagar):
Se eu me mover na direção do vetor unitário u, a derivada direcional de f em p na direção u é
D_{u}f(p)=\lim_{h\to 0}\frac{f(p+h\,u)-f(p)}{h},
quando esse limite existe. Intuição: é a velocidade instantânea de variação de f quando sigo a reta em direção u. Para a direção canônica do eixo x (vetor e_{x}=(1,0,0)), a derivada direcional coincide com a derivada parcial em x, isto é
D_{e_x}f(p)=\frac{\partial f}{\partial x}(p),
desde que a derivada parcial exista. O mesmo vale para e_y e e_z.

Passo 4

Usando que p é máximo local para obter desigualdade para a derivada direcional na direção positiva do eixo x:
Se p é máximo local, então, para todo h suficientemente pequeno e positivo, o ponto p+h e_x=(x_0+h,y_0,z_0) está dentro da bolinha onde f não ultrapassa f(p). Logo para h>0 pequeno:
f(p+h e_x)\le f(p).
Dividindo por h>0 obtemos
\frac{f(p+h e_x)-f(p)}{h}\le 0.
Agora fazemos h\to 0^{+}. Se o limite lateral à direita existir, temos a derivada direcional à direita (o que corresponde à derivada parcial direita):
\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(p+h e_x)-f(p)}{h}\le 0.
Portanto a derivada direcional na direção e_x pelo lado direito é \le 0.

Passo 5

Análogo para a direção negativa e conclusão sobre as derivadas laterais:
Ainda que o passo anterior trate h>0, para h<0 pequeno (ou seja, mover-se na direção -e_x) também vale f(p+h e_x)\le f(p). Fazendo h<0 e dividindo por h (negativo) obtemos
\frac{f(p+h e_x)-f(p)}{h}\ge 0\quad\text{para }h<0\text{ pequeno}.
Fazendo h\to 0^{-} temos a desigualdade para o limite lateral à esquerda:
\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(p+h e_x)-f(p)}{h}\ge 0.
Ou seja, a derivada direcional pela esquerda é \ge 0, enquanto a da direita é \le 0.

Passo 6

Como f é diferenciável em p (ela é de classe C^{2}, então é diferenciável), as derivadas laterais à esquerda e à direita em cada coordenada existem e são iguais: a derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x}(p) existe e vale o mesmo que os limites laterais. Combinando com as desigualdades dos passos anteriores obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}(p)=\lim_{h\to0^{+}}\frac{f(p+h e_x)-f(p)}{h} \le 0
e simultaneamente
\frac{\partial f}{\partial x}(p)=\lim_{h\to0^{-}}\frac{f(p+h e_x)-f(p)}{h} \ge 0.
A única maneira de uma quantidade ser ao mesmo tempo \le 0 e \ge 0 é ser igual a zero. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(p)=0.
Em particular fica satisfeita a desigualdade pedida \frac{\partial f}{\partial x}(p)\le 0.

Passo 7

Repetimos o raciocínio para as outras coordenadas y e z:
  • Para a direção e_y (movimentos em (x_0,y_0+h,z_0)) obtemos as mesmas desigualdades para os quocientes de diferenças pela direita e pela esquerda; pela diferenciabilidade em p a derivada parcial em y existe e deve ser zero. Logo \frac{\partial f}{\partial y}(p)=0, e portanto \frac{\partial f}{\partial y}(p)\le 0.
  • O mesmo para e_z: \frac{\partial f}{\partial z}(p)=0, logo \frac{\partial f}{\partial z}(p)\le 0.

Passo 8

Juntando tudo: se p é ponto de máximo local e f é C^{2} (logo diferenciável) então as derivadas parciais em p existem e valem zero. Assim as desigualdades pedidas são obedecidas. Portanto a condição
\frac{\partial f}{\partial x}(p)\le 0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(p)\le 0,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}(p)\le 0
é necessariamente satisfeita por um ponto de máximo local; na verdade, para ponto máximo interior e C^{1} obtemos igualdade \frac{\partial f}{\partial x}(p)=\frac{\partial f}{\partial y}(p)=\frac{\partial f}{\partial z}(p)=0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(p)\le 0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(p)\le 0
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(p)\le 0

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