Determine o paralelepipedo retângulo de volume máximo cujas arestas são paralelas aos eixos e inscrito vertices no elipsoide
36 x^{2}+16 y^{2}+9 z^{2}=(12)^{2}
Passo 1
O enunciado pede: determinar o paralelepípedo retângulo, com arestas paralelas aos eixos e com vértices no elipsoide dado, que tem volume máximo. As informações dadas são:
36x^{2}+16y^{2}+9z^{2}=(12)^{2}=144.
Informações adicionais que extraí do enunciado (importantes para resolver):
Como as arestas são paralelas aos eixos e os vértices estão no elipsoide, podemos tomar um vértice em (x,y,z) com x,y,z\ge 0 (primeiro octante) e o vértice oposto em (-x,-y,-z).
As arestas do paralelepípedo têm comprimentos 2x,\;2y,\;2z.
O volume do paralelepípedo é V=8xyz.
A partir daqui vamos maximizar V sujeito à restrição do elipsoide.
Passo 2
Vamos simplificar a tarefa: em vez de maximizar V=8xyz maximizamos f(x,y,z)=xyz (multiplicar por constante 8 não muda o ponto ótimo). A restrição é
g(x,y,z)=36x^{2}+16y^{2}+9z^{2}-144=0.
Observação importante: estamos procurando máximos com x,y,z\ge 0 (por causa da escolha do vértice no primeiro octante), e a região definida pela restrição é compacta, então existe máximo global.
Passo 3
Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange — ideia e fórmula:
Quando se busca um extremo de f(x,y,z) sujeito a g(x,y,z)=0, em pontos internos (não degenerados) os gradientes são proporcionais:
\nabla f = \lambda \nabla g,
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. Aqui \nabla f=(f_x,f_y,f_z) e \nabla g=(g_x,g_y,g_z).
Aplicando isso ao nosso f e g.
Breve justificativa de que é máximo: a função f(x,y,z)=xyz é contínua e a superfície definida pelo elipsoide é compacta; o ponto encontrado é o único crítico positivo obtido pelas condições de Lagrange e, por simetria da superfície, corresponde ao máximo global de f no conjunto de vértices possíveis. (Em provas normalmente é suficiente citar existência de máximo por compactitude e unicidade do crítico.)
Passo 10
Resumo prático — os dados que você colocaria na prova:
Vértice do paralelepípedo no primeiro octante: \displaystyle\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\;\sqrt{3},\;\frac{4}{\sqrt{3}}\right).
Os vértices completos (por simetria) são \displaystyle\left(\pm\frac{2}{\sqrt{3}},\;\pm\sqrt{3},\;\pm\frac{4}{\sqrt{3}}\right).
Comprimentos das arestas: \displaystyle 2x=\frac{4}{\sqrt{3}},\;2y=2\sqrt{3},\;2z=\frac{8}{\sqrt{3}}.