• Determine o paralelepipedo retângulo de volume máximo cujas arestas são paralelas aos eixos e inscrito vertices no elipsoide
36 x^{2}+16 y^{2}+9 z^{2}=(12)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o paralelepípedo retângulo, com arestas paralelas aos eixos e com vértices no elipsoide dado, que tem volume máximo. As informações dadas são:
36x^{2}+16y^{2}+9z^{2}=(12)^{2}=144.
Informações adicionais que extraí do enunciado (importantes para resolver):
  • Como as arestas são paralelas aos eixos e os vértices estão no elipsoide, podemos tomar um vértice em (x,y,z) com x,y,z\ge 0 (primeiro octante) e o vértice oposto em (-x,-y,-z).
  • As arestas do paralelepípedo têm comprimentos 2x,\;2y,\;2z.
  • O volume do paralelepípedo é V=8xyz.
    A partir daqui vamos maximizar V sujeito à restrição do elipsoide.

Passo 2

Vamos simplificar a tarefa: em vez de maximizar V=8xyz maximizamos f(x,y,z)=xyz (multiplicar por constante 8 não muda o ponto ótimo). A restrição é
g(x,y,z)=36x^{2}+16y^{2}+9z^{2}-144=0.
Observação importante: estamos procurando máximos com x,y,z\ge 0 (por causa da escolha do vértice no primeiro octante), e a região definida pela restrição é compacta, então existe máximo global.

Passo 3

Vou usar o método dos multiplicadores de Lagrange — ideia e fórmula:
  • Quando se busca um extremo de f(x,y,z) sujeito a g(x,y,z)=0, em pontos internos (não degenerados) os gradientes são proporcionais:
\nabla f = \lambda \nabla g,
onde \lambda é o multiplicador de Lagrange. Aqui \nabla f=(f_x,f_y,f_z) e \nabla g=(g_x,g_y,g_z).
Aplicando isso ao nosso f e g.

Passo 4

Calculo os gradientes:
f(x,y,z)=xyz \quad\Rightarrow\quad f_x=yz,\; f_y=xz,\; f_z=xy.
g(x,y,z)=36x^{2}+16y^{2}+9z^{2}-144 \quad\Rightarrow\quad g_x=72x,\; g_y=32y,\; g_z=18z.
A condição \nabla f=\lambda\nabla g dá o sistema
\begin{cases} yz = \lambda\,72x,\\[4pt] xz = \lambda\,32y,\\[4pt] xy = \lambda\,18z, \end{cases}
junto com a restrição
36x^{2}+16y^{2}+9z^{2}=144.]

Passo 5

Como x,y,z>0 no primeiro octante, podemos dividir as equações entre si para eliminar \lambda. Dividindo a primeira pela segunda:
\frac{yz}{xz}=\frac{\lambda 72x}{\lambda 32y}\quad\Rightarrow\quad \frac{y}{x}=\frac{72x}{32y}.
Multiplicando ambos os lados por x e por 32y:
32y^{2}=72x^{2}.
Logo
\frac{y^{2}}{x^{2}}=\frac{72}{32}=\frac{9}{4}\quad\Rightarrow\quad \frac{y}{x}=\frac{3}{2}.
Portanto
y=\frac{3}{2}x.

Passo 6

Agora dividimos a primeira equação pela terceira:
\frac{yz}{xy}=\frac{\lambda 72x}{\lambda 18z}\quad\Rightarrow\quad \frac{z}{x}=\frac{72x}{18z}.
Multiplicando ambos os lados por x e por 18z:
18z^{2}=72x^{2}.
Logo
\frac{z^{2}}{x^{2}}=\frac{72}{18}=4\quad\Rightarrow\quad \frac{z}{x}=2.
Portanto
z=2x.

Passo 7

Substituo y=\tfrac{3}{2}x e z=2x na restrição do elipsoide:
36x^{2}+16\left(\frac{3}{2}x\right)^{2}+9(2x)^{2}=144.
Calculo cada termo:
36x^{2}+16\cdot\frac{9}{4}x^{2}+9\cdot 4x^{2}=36x^{2}+36x^{2}+36x^{2}=108x^{2}.
Então
108x^{2}=144 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{144}{108}=\frac{4}{3}.
Como x>0,
x=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Agora obtenho y e z:
y=\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},
z=2x=2\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.

Passo 8

Calculo o volume máximo. Primeiro compute xyz. Usando as relações achadas:
xyz = x\cdot\frac{3}{2}x\cdot 2x = 3x^{3}.
Como x=\tfrac{2}{\sqrt{3}},
x^{3}=\frac{8}{(\sqrt{3})^{3}}=\frac{8}{3\sqrt{3}},
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xyz = 3\cdot\frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{8}{\sqrt{3}}.
O volume do paralelepípedo é V=8xyz, portanto
V_{\max}=8\cdot\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{64}{\sqrt{3}}=\frac{64\sqrt{3}}{3}.

Passo 9

Breve justificativa de que é máximo: a função f(x,y,z)=xyz é contínua e a superfície definida pelo elipsoide é compacta; o ponto encontrado é o único crítico positivo obtido pelas condições de Lagrange e, por simetria da superfície, corresponde ao máximo global de f no conjunto de vértices possíveis. (Em provas normalmente é suficiente citar existência de máximo por compactitude e unicidade do crítico.)

Passo 10

Resumo prático — os dados que você colocaria na prova:
  • Vértice do paralelepípedo no primeiro octante: \displaystyle\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\;\sqrt{3},\;\frac{4}{\sqrt{3}}\right).
  • Os vértices completos (por simetria) são \displaystyle\left(\pm\frac{2}{\sqrt{3}},\;\pm\sqrt{3},\;\pm\frac{4}{\sqrt{3}}\right).
  • Comprimentos das arestas: \displaystyle 2x=\frac{4}{\sqrt{3}},\;2y=2\sqrt{3},\;2z=\frac{8}{\sqrt{3}}.
  • Volume máximo: \displaystyle V_{\max}=\frac{64}{\sqrt{3}}=\frac{64\sqrt{3}}{3}.

Resposta

Vértices: \left(\pm\frac{2}{\sqrt{3}},\;\pm\sqrt{3},\;\pm\frac{4}{\sqrt{3}}\right)\n
Arestas: 2x=\frac{4}{\sqrt{3}},\;2y=2\sqrt{3},\;2z=\frac{8}{\sqrt{3}}\n
Volume máximo: \frac{64}{\sqrt{3}}=\frac{64\sqrt{3}}{3}

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