61*. Seja B o conjunbto de todos os (x, y) tais que 1+x^{2} \leq y \leq 2+x^{2}, com -1 \leq x \leq 1. Calcule
\iint_{B} \frac{e^{y-x^{2}}}{y-x^{2}} d A

Passo 1

O enunciado dá o conjunto B formado por todos os pontos (x,y) que satisfazem
1 + x^{2} \le y \le 2 + x^{2},\qquad -1 \le x \le 1.
Pede-se calcular a integral dupla
\iint_{B} \frac{e^{y-x^{2}}}{y-x^{2}}\, dA.
Informações relevantes que vou usar:
  • Os limites em y estão escritos em função de x: para cada x\in[-1,1] temos y\in[1+x^{2},\,2+x^{2}].
  • A função integranda depende apenas da combinação y-x^{2}, ou seja, depende de y e x através de y-x^{2}.

Passo 2

Motivação da mudança de variável: quando a integranda depende da combinação y-x^{2}, é natural fazer a substituição que torne essa combinação numa nova variável. Definimos
u = y - x^{2},
e mantemos x como está (ou seja, usamos as variáveis (x,u)). Vou explicar por que isso simplifica a integral: a expressão \dfrac{e^{y-x^{2}}}{y-x^{2}} vira \dfrac{e^{u}}{u}, que não depende de x; se a mudança de variável tiver Jacobiano simples, poderemos separar as integrais.

Passo 3

Determinar a transformação e o Jacobiano. A transformação inversa (de (x,u) para (x,y)) é
x = x,\qquad y = u + x^{2}.
A matriz jacobiana da transformação (x,u)\mapsto(x,y) é
\begin{pmatrix} \partial x/\partial x & \partial x/\partial u \\[4pt] \partial y/\partial x & \partial y/\partial u \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 2x & 1 \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é 1. Assim o fator de escala entre as áreas é 1, ou seja,
dA = dx\,dy = dx\,du.
Intuitivamente: para cada x fixo, u varia exatamente como y (pois u=y-x^{2} e x é constante), então du=dy.]

Passo 4

Transformar os limites da região B em termos de (x,u). A condição 1+x^{2}\le y\le 2+x^{2} traduz-se em
1 \le u \le 2,
que é independente de x. E x continua variando em [-1,1]. Portanto a região B em (x,u) é o retângulo \{(x,u): -1\le x\le 1,\; 1\le u\le 2\}.

Passo 5

Escrever a integral na nova variável. Usando u=y-x^{2} e dA=dx\,du obtemos
\iint_{B} \frac{e^{y-x^{2}}}{y-x^{2}}\, dA = \int_{x=-1}^{1}\int_{u=1}^{2} \frac{e^{u}}{u}\, du\, dx.

Passo 6

Separar as integrais porque a integranda \dfrac{e^{u}}{u} não depende de x. Primeiro integramos em x:
\int_{-1}^{1} dx = 2.
Logo
\iint_{B} \frac{e^{y-x^{2}}}{y-x^{2}}\, dA = 2\int_{1}^{2} \frac{e^{u}}{u}\, du.
A integral imprimitiva de \dfrac{e^{u}}{u} não se escreve em termos de funções elementares. Uma forma padrão de expressá-la é usando a função integral exponencial \operatorname{Ei}, definida (para argumentos positivos) por uma primitiva apropriada. Assim podemos também escrever
\int_{1}^{2} \frac{e^{u}}{u}\, du = \operatorname{Ei}(2)-\operatorname{Ei}(1).

Passo 7

Resumo final do cálculo: juntando tudo, a integral vale
2\int_{1}^{2} \frac{e^{u}}{u}\, du = 2\bigl(\operatorname{Ei}(2)-\operatorname{Ei}(1)\bigr).
Se preferir, pode deixar a resposta na forma da integral definida sem usar \operatorname{Ei}.

Resposta

2\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{e^{u}}{u}\,du = 2\bigl(\operatorname{Ei}(2)-\operatorname{Ei}(1)\bigr)

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