61*. Seja
o conjunbto de todos os
tais que
, com
. Calcule
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
formado por todos os pontos
que satisfazem
Pede-se calcular a integral dupla
Informações relevantes que vou usar:
- Os limites em
estão escritos em função de : para cada temos . - A função integranda depende apenas da combinação
, ou seja, depende de e através de .
Passo 2
Motivação da mudança de variável: quando a integranda depende da combinação
, é natural fazer a substituição que torne essa combinação numa nova variável. Definimos
e mantemos
como está (ou seja, usamos as variáveis
). Vou explicar por que isso simplifica a integral: a expressão
vira
, que não depende de
; se a mudança de variável tiver Jacobiano simples, poderemos separar as integrais.
Passo 3
Determinar a transformação e o Jacobiano. A transformação inversa (de
para
) é
A matriz jacobiana da transformação
é
O determinante dessa matriz é
. Assim o fator de escala entre as áreas é
, ou seja,
Intuitivamente: para cada
fixo,
varia exatamente como
(pois
e
é constante), então
.]
Passo 4
Transformar os limites da região
em termos de
. A condição
traduz-se em
que é independente de
. E
continua variando em
. Portanto a região
em
é o retângulo
.
Passo 5
Escrever a integral na nova variável. Usando
e
obtemos
Passo 6
Separar as integrais porque a integranda
não depende de
. Primeiro integramos em
:
Logo
A integral imprimitiva de
não se escreve em termos de funções elementares. Uma forma padrão de expressá-la é usando a função integral exponencial
, definida (para argumentos positivos) por uma primitiva apropriada. Assim podemos também escrever
Passo 7
Resumo final do cálculo: juntando tudo, a integral vale
Se preferir, pode deixar a resposta na forma da integral definida sem usar
.