Seja
e seja
a sunerfície de nível de
que contém o ponto
. Determine as equaçōes paramétricas da reta normal a
no ponto.
Passo 1
O enunciado dá a função
e diz que
é a superfície de nível de
que contém o ponto
. A pergunta é: determinar as equações paramétricas da reta normal a
naquele ponto. Informações relevantes fornecidas:
- A função
. - O ponto onde queremos a normal:
. -
é a superfície de nível de que passa por esse ponto (ou seja, o conjunto de pontos onde é constante, igual ao valor de nesse ponto).
Passo 2
Vamos primeiro encontrar qual é o nível (a constante) que define
. Isso é apenas avaliar
no ponto dado. Calculamos
Logo
é a superfície definida por
Passo 3
Agora uma ideia importantíssima (vou explicar com calma): se
é uma superfície de nível de uma função
, então o vetor gradiente
em um ponto é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Por que isso? Seja
uma curva qualquer contida em
e passando pelo ponto em questão. Como todos os pontos da curva satisfazem
(constante), a derivada em
é zero:
Pelo teorema da cadeia, isso é
Aqui
é um vetor tangente à curva (logo tangente à superfície) e o produto escalar sendo zero mostra que
é ortogonal a todo vetor tangente — logo é normal à superfície. Assim podemos usar
como vetor diretor da reta normal.
Passo 4
Precisamos então encontrar
. Por definição,
Para a nossa função
as derivadas parciais são fáceis:
Portanto
Passo 5
Avaliaremos o gradiente no ponto
:
Esse vetor
é normal à superfície
no ponto dado e pode ser usado como vetor diretor da reta normal.
Passo 6
A reta que passa por
com direção
tem forma vetorial paramétrica
Das componentes dessa expressão obtemos as equações paramétricas:
com
. Essas são as equações da reta normal procurada.