Seja f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-z^{2} e seja S a sunerfície de nível de S que contém o ponto (3,1,2). Determine as equaçōes paramétricas da reta normal a S no ponto.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2} e diz que S é a superfície de nível de f que contém o ponto (3,1,2). A pergunta é: determinar as equações paramétricas da reta normal a S naquele ponto. Informações relevantes fornecidas:
  • A função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}.
  • O ponto onde queremos a normal: (3,1,2).
  • S é a superfície de nível de f que passa por esse ponto (ou seja, o conjunto de pontos onde f é constante, igual ao valor de f nesse ponto).

Passo 2

Vamos primeiro encontrar qual é o nível (a constante) que define S. Isso é apenas avaliar f no ponto dado. Calculamos
f(3,1,2)=3^{2}+1^{2}-2^{2}=9+1-4=6.
Logo S é a superfície definida por
f(x,y,z)=6.

Passo 3

Agora uma ideia importantíssima (vou explicar com calma): se S é uma superfície de nível de uma função f, então o vetor gradiente \nabla f em um ponto é perpendicular (normal) à superfície naquele ponto. Por que isso? Seja \mathbf{r}(t) uma curva qualquer contida em S e passando pelo ponto em questão. Como todos os pontos da curva satisfazem f(\mathbf{r}(t))=6 (constante), a derivada em t é zero:
\frac{d}{dt} f(\mathbf{r}(t))=0.
Pelo teorema da cadeia, isso é
\nabla f(\mathbf{r}(t))\cdot \mathbf{r}'(t)=0.
Aqui \mathbf{r}'(t) é um vetor tangente à curva (logo tangente à superfície) e o produto escalar sendo zero mostra que \nabla f é ortogonal a todo vetor tangente — logo é normal à superfície. Assim podemos usar \nabla f como vetor diretor da reta normal.

Passo 4

Precisamos então encontrar \nabla f. Por definição,
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
Para a nossa função f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2} as derivadas parciais são fáceis:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=-2z.
Portanto
\label{grad} \nabla f(x,y,z)=(2x,\,2y,\,-2z).

Passo 5

Avaliaremos o gradiente no ponto (3,1,2):
\nabla f(3,1,2)=(2\cdot 3,\;2\cdot 1,\;-2\cdot 2)=(6,2,-4).
Esse vetor (6,2,-4) é normal à superfície S no ponto dado e pode ser usado como vetor diretor da reta normal.

Passo 6

A reta que passa por (3,1,2) com direção (6,2,-4) tem forma vetorial paramétrica
\mathbf{r}(t)=(3,1,2)+t(6,2,-4).
Das componentes dessa expressão obtemos as equações paramétricas:
x=3+6t,\qquad y=1+2t,\qquad z=2-4t,
com t\in\mathbb{R}. Essas são as equações da reta normal procurada.

Resposta

x=3+6t
y=1+2t
z=2-4t

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