Seja S superfície definida por x^{2}=\frac{y^{2}}{4}+z^{2}. Determine a equação do plano tangente a S em (\sqrt{2}, 2,-1) e as equações paramétricas da reta normal a S no ponto.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície S e um ponto sobre ela, e pede duas coisas claras:
  • Determinar a equação do plano tangente a S no ponto \bigl(\sqrt{2},\,2,\,-1\bigr).
  • Determinar as equações paramétricas da reta normal a S nesse ponto.
Informações fornecidas:
x^{2}=\frac{y^{2}}{4}+z^{2}
e o ponto \bigl(\sqrt{2},\,2,\,-1\bigr) pertence a S.

Passo 2

Escolha do método (explicação curta e por que funciona).
Uma forma direta e clássica para superfícies dadas implicitamente é definir
F(x,y,z)=x^{2}-\frac{y^{2}}{4}-z^{2},
assim S é o conjunto de pontos onde F(x,y,z)=0. O vetor gradiente \nabla F aponta na direção normal à superfície. O plano tangente em um ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) satisfaz a equação
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.
Este método é o mais direto aqui porque evita tentar isolar uma variável e deriva de uma propriedade básica: a variação de F na superfície é nula, portanto o gradiente é perpendicular à superfície.

Passo 3

Definir F e calcular as derivadas parciais (aulas rápidas sobre derivadas parciais).
Definimos
F(x,y,z)=x^{2}-\frac{y^{2}}{4}-z^{2}.
Derivadas parciais: para lembrar, a derivada parcial em relação a x trata y e z como constantes, e similarmente para as outras. Então:
F_{x}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,
F_{y}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(-\frac{y^{2}}{4}\Bigr)=-\frac{1}{2}y,
F_{z}(x,y,z)=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-z^{2}\bigr)=-2z.
O vetor gradiente é
\nabla F(x,y,z)=\bigl(F_{x},\,F_{y},\,F_{z}\bigr)=\bigl(2x,\,-\tfrac{1}{2}y,\,-2z\bigr).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto dado.
Tomamos o ponto \bigl(x_{0},y_{0},z_{0}\bigr)=\bigl(\sqrt{2},\,2,\,-1\bigr). Avaliando:
F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})=2\sqrt{2},
F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})=-\tfrac{1}{2}\cdot 2=-1,
F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})=-2\cdot(-1)=2.
Portanto o gradiente no ponto é
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})=\bigl(2\sqrt{2},\,-1,\,2\bigr).
Esse vetor é normal à superfície em \bigl(\sqrt{2},2,-1\bigr).

Passo 5

Escrever a equação do plano tangente usando o gradiente (fórmula e interpretação).
A equação do plano tangente em \bigl(x_{0},y_{0},z_{0}\bigr) é
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0})\cdot\bigl(x-x_{0},\,y-y_{0},\,z-z_{0}\bigr)=0.
Substituindo os valores:
\bigl(2\sqrt{2},\,-1,\,2\bigr)\cdot\bigl(x-\sqrt{2},\,y-2,\,z+1\bigr)=0.
Fazendo o produto escalar e desenvolvendo passo a passo:
2\sqrt{2}\,(x-\sqrt{2})-1\,(y-2)+2\,(z+1)=0.
Agora expandimos os termos:
2\sqrt{2}\,x-2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-y+2+2z+2=0.
Como \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, temos 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4. Assim:
2\sqrt{2}\,x-4-y+2+2z+2=0.
Os constantes somam -4+2+2=0, ficando:
2\sqrt{2}\,x-y+2z=0.
Essa é a equação simplificada do plano tangente.

Passo 6

Verificação rápida (substituição do ponto) para garantir consistência.
Substituindo \bigl(\sqrt{2},2,-1\bigr) em 2\sqrt{2}\,x-y+2z obtemos
2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-2+2(-1)=4-2-2=0,
ou seja, o ponto realmente está no plano — bom sinal.

Passo 7

Construir a reta normal paramétrica (explicação do porquê).
A reta normal passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor normal \nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}). Se tomarmos parâmetro t, as equações paramétricas são
x(t)=x_{0}+t\,F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),
y(t)=y_{0}+t\,F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),
z(t)=z_{0}+t\,F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}).
Substituindo os valores:
x(t)=\sqrt{2}+t\cdot 2\sqrt{2},
y(t)=2+t\cdot(-1)=2-t,
z(t)=-1+t\cdot 2=-1+2t.
Opcionalmente em forma simétrica:
\frac{x-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}=t.

Resposta

Equação do plano tangente: 2\sqrt{2}\,x-y+2z=0
Equações paramétricas da reta normal: x(t)=\sqrt{2}+2\sqrt{2}\,t,\quad y(t)=2-t,\quad z(t)=-1+2t

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