Seja
superfície definida por
. Determine a equação do plano tangente a
em
e as equações paramétricas da reta normal a
no ponto.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
e um ponto sobre ela, e pede duas coisas claras:
- Determinar a equação do plano tangente a
no ponto . - Determinar as equações paramétricas da reta normal a
nesse ponto.
Informações fornecidas:
e o ponto
pertence a
.
Passo 2
Escolha do método (explicação curta e por que funciona).
Uma forma direta e clássica para superfícies dadas implicitamente é definir
Uma forma direta e clássica para superfícies dadas implicitamente é definir
assim
é o conjunto de pontos onde
. O vetor gradiente
aponta na direção normal à superfície. O plano tangente em um ponto
satisfaz a equação
Este método é o mais direto aqui porque evita tentar isolar uma variável e deriva de uma propriedade básica: a variação de
na superfície é nula, portanto o gradiente é perpendicular à superfície.
Passo 3
Definir
e calcular as derivadas parciais (aulas rápidas sobre derivadas parciais).
Definimos
Definimos
Derivadas parciais: para lembrar, a derivada parcial em relação a
trata
e
como constantes, e similarmente para as outras. Então:
O vetor gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto dado.
Tomamos o ponto . Avaliando:
Tomamos o ponto
Portanto o gradiente no ponto é
Esse vetor é normal à superfície em
.
Passo 5
Escrever a equação do plano tangente usando o gradiente (fórmula e interpretação).
A equação do plano tangente em é
A equação do plano tangente em
Substituindo os valores:
Fazendo o produto escalar e desenvolvendo passo a passo:
Agora expandimos os termos:
Como
, temos
. Assim:
Os constantes somam
, ficando:
Essa é a equação simplificada do plano tangente.
Passo 6
Verificação rápida (substituição do ponto) para garantir consistência.
Substituindo em
obtemos
Substituindo
ou seja, o ponto realmente está no plano — bom sinal.
Passo 7
Construir a reta normal paramétrica (explicação do porquê).
A reta normal passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor normal . Se tomarmos parâmetro
, as equações paramétricas são
A reta normal passa pelo ponto e tem direção dada pelo vetor normal
Substituindo os valores:
Opcionalmente em forma simétrica:
Resposta
Equação do plano tangente:
Equações paramétricas da reta normal: