Seja f uma furçāo continuamente diferenciável e tal que f(1,1,2)=1 e \bar{\nabla} f(1,1,2)=(2,1,3). Determine a equaçāo do plano tangente ao gráfico da função definida implicitamente por f(1,1,2)=1 no ponto (1,1,2).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação do plano tangente ao conjunto definido implicitamente por f(x,y,z)=1 no ponto (1,1,2).
Informações dadas:
  • f é continuamente diferenciável.
  • f(1,1,2)=1.
  • \bar{\nabla} f(1,1,2)=(2,1,3).
O objetivo é escrever a equação do plano tangente ao gráfico da equação implícita f(x,y,z)=1 no ponto (1,1,2).

Passo 2

Entendendo a ideia (passo-a-passo, sem pressa):
  • O conjunto S=\{(x,y,z)\mid f(x,y,z)=1\} é uma superfície de nível (nível constante) de f.
  • A grande propriedade que usamos: o gradiente de f num ponto é perpendicular (normal) à superfície de nível naquele ponto. Vou justificar isso de forma simples.
Justificativa curta e intuitiva:
  • Seja P=(x_0,y_0,z_0) um ponto de S. Seja v um vetor tangente à superfície em P. Se você andar um pouquinho ao longo da superfície a partir de P na direção v, o valor de f permanece constante (porque você permanece na superfície de nível). Logo a derivada direcional de f ao longo de v em P é zero.
  • A derivada direcional de f ao longo de v em P é \bar{\nabla} f(P)\cdot v. Como essa derivada é zero para todo vetor tangente v, concluímos que \bar{\nabla} f(P) é ortogonal a todos os vetores tangentes — ou seja, é um vetor normal à superfície em P.

Passo 3

Fórmula do plano tangente (resultado prático que vamos aplicar):
  • Se \bar{\nabla} f(P)=(A,B,C) e P=(x_0,y_0,z_0), então um vetor normal ao plano tangente é (A,B,C).
  • A equação do plano com normal (A,B,C) que passa por P é
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
Expliquei o que cada símbolo significa: x,y,z são as coordenadas de um ponto genérico do plano; x_0,y_0,z_0 são as coordenadas do ponto de tangência; A,B,C são as componentes do vetor normal (aqui o gradiente).

Passo 4

Aplicando aos dados do enunciado:
  • Temos \bar{\nabla} f(1,1,2)=(2,1,3), logo A=2, B=1, C=3.
  • O ponto de tangência é P=(1,1,2), então x_0=1, y_0=1, z_0=2.
  • Substituindo na fórmula do passo anterior obtemos
2(x-1)+1(y-1)+3(z-2)=0.

Passo 5

Fazendo as contas e simplificando (mostro cada termo):
  • Expandindo: 2x-2 + y-1 + 3z-6 = 0.
  • Somando constantes: -2-1-6 = -9.
  • Assim: 2x + y + 3z -9 = 0.
  • Ou equivalentemente:
2x + y + 3z = 9.
Opcional (forma explícita para z): z=\frac{9-2x-y}{3}.

Resposta

2(x-1)+(y-1)+3(z-2)=0
2x+y+3z=9

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