Seja
uma furçāo continuamente diferenciável e tal que
e
. Determine a equaçāo do plano tangente ao gráfico da função definida implicitamente por
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação do plano tangente ao conjunto definido implicitamente por
no ponto
.
Informações dadas:
-
é continuamente diferenciável. -
. -
.
O objetivo é escrever a equação do plano tangente ao gráfico da equação implícita
no ponto
.
Passo 2
Entendendo a ideia (passo-a-passo, sem pressa):
- O conjunto
é uma superfície de nível (nível constante) de . - A grande propriedade que usamos: o gradiente de
num ponto é perpendicular (normal) à superfície de nível naquele ponto. Vou justificar isso de forma simples.
Justificativa curta e intuitiva:
- Seja
um ponto de . Seja um vetor tangente à superfície em . Se você andar um pouquinho ao longo da superfície a partir de na direção , o valor de permanece constante (porque você permanece na superfície de nível). Logo a derivada direcional de ao longo de em é zero. - A derivada direcional de
ao longo de em é . Como essa derivada é zero para todo vetor tangente , concluímos que é ortogonal a todos os vetores tangentes — ou seja, é um vetor normal à superfície em .
Passo 3
Fórmula do plano tangente (resultado prático que vamos aplicar):
- Se
e , então um vetor normal ao plano tangente é . - A equação do plano com normal
que passa por é
Expliquei o que cada símbolo significa:
são as coordenadas de um ponto genérico do plano;
são as coordenadas do ponto de tangência;
são as componentes do vetor normal (aqui o gradiente).
Passo 4
Aplicando aos dados do enunciado:
- Temos
, logo , , . - O ponto de tangência é
, então , , . - Substituindo na fórmula do passo anterior obtemos
Passo 5
Fazendo as contas e simplificando (mostro cada termo):
- Expandindo:
. - Somando constantes:
. - Assim:
. - Ou equivalentemente:
Opcional (forma explícita para
):