Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=\left(4 x^{2}-5 y, 5 x y+\sqrt{y^{2}+1}\right), e C é a circunferência
, no sentido anti-horário.
\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=\left(4 x^{2}-5 y, 5 x y+\sqrt{y^{2}+1}\right), e C é a circunferência
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
com
e pede a integral de linha
ao longo da circunferência no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região
interna a
.
ao longo da circunferência
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais necessárias para o teorema de Green:
Logo, o integrando de Green é
Passo 3
Pelo Teorema de Green temos
onde
é o disco de centro
e raio
.
Passo 4
Separamos a integral em duas:
O primeiro termo é
vezes a área do disco de raio
, isto é,
O segundo termo é a integral de
sobre uma região simétrica em relação ao eixo
, portanto
Passo 5
Somando os resultados, obtemos
Pelo Teorema de Green, essa é justamente a integral de linha pedida.