Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha sobre a curva fechada simples C.
\oint_{C} \vec{F} \cdot d \vec{r}, onde \vec{F}(x, y)=\left(4 x^{2}-5 y, 5 x y+\sqrt{y^{2}+1}\right), e C é a circunferência (x-2)^2+ y^2=4, no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y) = (P,Q) com
P(x,y) = 4x^2 - 5y, Q(x,y) = 5xy + raizy^2+1,
e pede a integral de linha
ointC F cdot dr
ao longo da circunferência (x-2)^2 + y^2 = 4 no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green, que converte essa integral de linha em uma integral dupla sobre a região D interna a C.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais necessárias para o teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial xl(5xy + raizy^2+1r) = 5y,
partial Ppartial y = partialpartial yl(4x^2 - 5yr) = -5
Logo, o integrando de Green é
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 5y - (-5) = 5y + 5

Passo 3

Pelo Teorema de Green temos
ointC vec Fcdot dvec r = integral duplaD l(tfracpartial Qpartial x - tfracpartial Ppartial yr),dA = integral duplaD (5y + 5),dA,
onde D é o disco de centro (2,0) e raio 2.

Passo 4

Separamos a integral em duas:
integral duplaD (5y + 5),dA = 5integral duplaD dA ;+; 5integral duplaD y,dA
O primeiro termo é 5 vezes a área do disco de raio 2, isto é,
5cdot(picdot 2^2) = 20pi
O segundo termo é a integral de y sobre uma região simétrica em relação ao eixo x, portanto
integral duplaD y,dA = 0

Passo 5

Somando os resultados, obtemos
integral duplaD (5y + 5),dA = 20pi + 0 = 20pi
Pelo Teorema de Green, essa é justamente a integral de linha pedida.

Resposta

20pi

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