Represente f(z) = e^(z^2) na forma f(z) = u(x, y) + i * v(x, y). Obtenha a regra de derivação utilizando a regra da cadeia e as equações de Cauchy Riemann

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar a função na forma , onde e são funções reais de e . Depois, vamos usar a regra da cadeia e as equações de Cauchy-Riemann para achar a derivada dessa função. Isso envolve conceitos de funções de variável complexa e cálculo complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever em termos das suas partes real e imaginária. Sabemos que , onde e são números reais. Agora, vamos calcular :

Passo 3

Agora, precisamos calcular . Sabemos que, para um número complexo , a exponencial é dada por:
Aplicando isso a :

Passo 4

Com isso, podemos identificar as partes real e imaginária de :

Passo 5

Agora, vamos usar as equações de Cauchy-Riemann, que dizem que, para uma função ser diferenciável no sentido complexo, devem valer:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Observando, vemos que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.

Passo 6

Como as equações de Cauchy-Riemann são válidas, podemos usar a regra da derivação para funções complexas. A derivada de é dada por:
Substituindo as derivadas encontradas:
Podemos simplificar isso reorganizando os termos:

Resposta

A derivada de é .

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