Seja f(x, y)=1raizx^2-3 y^2.
Faça um esboço das curvas de nível de f, com k=1,2,3,4.

Passo 1

O enunciado pede o esboço das curvas de nível da função
f(x,y)=1raizx^2-3y^2
para os valores k=1,2,3,4.
Conteúdo: identificação de curvas de nível e classificação de cônicas (hipérboles).

Passo 2

Para cada nível k temos
f(x,y)=k Longrightarrow 1raizx^2-3y^2=k Longrightarrow raizx^2-3y^2=1k
Elevando ao quadrado:
x^2-3y^2=1k^2,
com a condição de domínio x^2-3y^2>0.

Passo 3

A equação
x^2-3y^2=1k^2
é uma hipérbole centralizada na origem, com eixo transverso ao longo do eixo x.
Comparando com a forma canônica
x^2a^2-y^2b^2=1
vemos que
a=1k, b=1kraiz3,
e as assíntotas são
y=pmxraiz3

Passo 4

Para cada k obtemos:
k=1: x^2-3y^2=1\quad( a=1, b=1raiz3)
k=2: x^2-3y^2=14\quad( a=12, b=12raiz3)
k=3: x^2-3y^2=19\quad( a=13, b=13raiz3)
k=4: x^2-3y^2=116\quad( a=14, b=14raiz3)

Passo 5

Esboço:
1. Desenhe as assíntotas y=pm x/raiz3.
2. Para cada k, marque no eixo x os pontos (pm a,0) e no eixo y os pontos (0,pm b).
3. Ligue esses pontos com ramos de hipérbole que se abrem para x>0 e x<0. Observa-se que, conforme k cresce, a e b diminuem, aproximando a hipérbole da origem.

Resposta

As curvas de nível são as hipérboles
x^2-3y^2=1k^2,
para k=1,2,3,4, com assíntotas y=pmtfracxraiz3, cada vez mais “fechadas” em torno da origem à medida que k aumenta.

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