Avalie os limites dados (determinando o seus valores caso existam e justificando caso não existam).
lim (x, y) (0,0) 2 x raizyx^2+y

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = 2xraizyx^2+y
e pede o valor de
lim(x,y)to(0,0) f(x,y). Note que, como há raizy, estamos supondo y>=0. Vamos verificar se esse limite é único ou depende da trajetória de aproximação a (0,0).

Passo 2

Considere a aproximação pela reta horizontal y=0. Então raizy=0 e, para todo xneq0,
f(x,0) = 2xcdot0x^2+0 = 0
Logo,
lim(x,y)to(0,0)atop y=0 f(x,y) = 0

Passo 3

Agora aproxime por y=x^2 com x>0. Nesse caso raizy=raizx^2=x e
f(x,x^2) = 2xcdot xx^2+x^2 = 2x^22x^2 =1
Logo,
lim(x,y)to(0,0)atop y=x^2,,x>0 f(x,y) = 1

Passo 4

Vimos que a aproximação por y=0 dá limite 0, enquanto por y=x^2 1. Como esses valores são diferentes, o limite geral
lim(x,y)to(0,0) f(x,y)
não existe.

Resposta

O limite não existe.

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