Após sair de dobra espacial, a nave Uss Enterprise parou na posição (1,-1,1). Nas proximidades da nave se encontra um ponto de anti-matéria exótica cuja radiação (em bSv) na posição (x, y, z), com x, y e z medidos em unidades astronômicas, é dada por R(x, y, z)=5x^2+y^2+z^2+1.
Sabendo que a nave não pode ficar muito tempo exposta a tal radiação, que direção o oficial de navegação, Pavel Andreyevich Chekov, deve indicar ao capitão Kirk para que a radiação diminua o mais rápido possível?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de radiação
R(x,y,z)=5x^2+y^2+z^2+1
e pede a direção em que R diminui mais rápido a partir do ponto (1,-1,1). Aqui vamos usar o fato de que o gradiente nabla R aponta na direção de máximo crescimento de R, e sua negativa -nabla R aponta na direção de máximo decréscimo.

Passo 2

Calculamos nabla R diferenciando
R(x,y,z)=5,(x^2+y^2+z^2+1)^-1
em relação a x, y e z. Usando a regra da cadeia temos
partial Rpartial x =-5cdot1cdot (x^2+y^2+z^2+1)^-2cdot2x =-10x(x^2+y^2+z^2+1)^2
e formulações análogas para y e z. Logo,
nabla R(x,y,z) =l(-10x(x^2+y^2+z^2+1)^2,, -10y(x^2+y^2+z^2+1)^2,, -10z(x^2+y^2+z^2+1)^2r)

Passo 3

Avaliamo nabla R em (1,-1,1). Primeiro o denominador
x^2+y^2+z^2+1 =1^2+(-1)^2+1^2+1=4
Assim
nabla R(1,-1,1) =l(-10cdot14^2,,-10cdot(-1)4^2,,-10cdot14^2r) =l(-1016,1016,-1016r) =l(-tfrac58,tfrac58,-tfrac58r)

Passo 4

A direção de máximo decréscimo de R é dada por -nabla R(1,-1,1), isto é
-nabla R(1,-1,1) =l(tfrac58,-tfrac58,tfrac58r)
Como direção não precisa do fator de escala, podemos multiplicar por 8/5 e obter o vetor equivalente
(1,-1,1),
cujo vetor unitário é
1raiz3,(1,-1,1)

Resposta

Chekov deve indicar que a nave siga na direção do vetor unitário
1raiz3,(1,,-1,;1),
ou seja, afastando-se radialmente da origem, para que a radiação diminua mais rápido.

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