Seja um fio longo de raio R que conduz uma corrente i. Dentro do fio, o campo magnético é dado por:
\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{2 \pi R^{2}} r \hat{\varphi}
onde r<R é a distância radial e \vec{\varphi} é um vetor unitário que indica a direção azimutal.
Obtenha densidade de corrente (vetor). A corrente é uniformemente distribuída ao longo da seção transversal do fio?

Passo 1

Enunciado e o que se pede:
  • Dado: dentro do fio (para r<R) o campo magnético é
\vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{2 \pi R^{2}}\, r \,\hat{\varphi}.
Aqui \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo, i é a corrente total no fio, R é o raio do fio, r é a distância radial (com r<R) e \hat{\varphi} é o versor azimutal em coordenadas cilíndricas.
  • Pedidos:
    1. Obter a densidade de corrente vetorial \vec{J} dentro do fio.
    2. Dizer se a corrente é uniformemente distribuída ao longo da seção transversal.

Passo 2

Ligando o campo magnético à corrente: Lei de Ampère (versão integral) — explicação e aplicação.
  • A Lei de Ampère diz
\oint_{\mathcal{C}} \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}},
onde \mathcal{C} é um contorno fechado e I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a superfície limitada por \mathcal{C}. Aqui \oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell} é a integral de linha de \vec B ao longo do caminho.
  • Escolhemos um caminho circular de raio r centrado no eixo do fio (simetria cilíndrica). Para esse caminho:
    • d\vec{\ell}=r\,d\varphi\,\hat{\varphi}.
    • Como \vec B é azimutal, \vec B\cdot d\vec\ell = B_{\varphi}(r)\,r\,d\varphi.
    • Integrando de \varphi=0 a 2\pi obtemos
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=2\pi r\, B_{\varphi}(r).
  • Usando a expressão dada para B_{\varphi}(r):
2\pi r\,B_{\varphi}(r)=2\pi r\left(\frac{\mu_{0} i}{2\pi R^{2}}\,r\right)=\mu_{0} i\,\frac{r^{2}}{R^{2}}.
  • Pela Lei de Ampère:
\mu_{0} I_{\text{enc}}=\mu_{0} i\,\frac{r^{2}}{R^{2}}\quad\Rightarrow\quad I_{\text{enc}}(r)=i\,\frac{r^{2}}{R^{2}}.
Interpretação: a corrente contida em um círculo de raio r cresce com r^{2}.

Passo 3

Relação entre corrente encerrada e densidade de corrente — fórmula e explicação.
  • Definição: A corrente encerrada por um círculo de raio r é a integral da densidade de corrente sobre a área do disco:
I_{\text{enc}}(r)=\iint_{S_{r}} \vec{J}\cdot d\vec{S}.
  • Pelo problema, por simetria a \vec{J} só tem componente axial (vamos chamar de \hat{z}). Então d\vec{S}=\hat{z}\,dA e podemos escrever em coordenadas cilíndricas (variável radial r'):
I_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r} J(r')\,2\pi r'\,dr',
onde J(r') é o módulo da densidade de corrente no raio r'.

Passo 4

Determinar J(r) a partir de I_{\text{enc}}(r).
  • Temos de Passo 2 que I_{\text{enc}}(r)=i\frac{r^{2}}{R^{2}}.
  • Diferenciando em relação a r e usando a fórmula geral
\frac{d}{dr}I_{\text{enc}}(r)=2\pi r\,J(r),
obtemos:
\frac{d}{dr}\left(i\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)=2i\frac{r}{R^{2}}=2\pi r\,J(r).
  • Cancelando 2\pi r dos dois lados (para r>0):
J(r)=\frac{1}{2\pi r}\cdot 2i\frac{r}{R^{2}}=\frac{i}{\pi R^{2}}.
Portanto J(r) é independente de r: é uma constante dentro do fio.

Passo 5

Expressão vetorial da densidade de corrente e verificação da consistência.
  • Como a corrente flui ao longo do eixo do fio, o vetor densidade de corrente é
\vec{J}=\frac{i}{\pi R^{2}}\,\hat{z},
onde \hat{z} indica a direção axial do fio (a escolha de sinal/ direção corresponde ao sentido positivo da corrente i usado na expressão de \vec B).
  • Verificação fácil: multiplicando J pela área da seção transversal \pi R^{2} recuperamos a corrente total:
J\cdot \pi R^{2}= \frac{i}{\pi R^{2}}\cdot \pi R^{2}=i,
como deve ser.

Resposta

\displaystyle \vec{J}=\frac{i}{\pi R^{2}}\,\hat{z}\nSim — a densidade de corrente é constante (uniforme) na seção transversal do fio.

Exercícios relacionados