Seja um fio longo de raio
que conduz uma corrente
. Dentro do fio, o campo magnético é dado por:
onde
é a distância radial e
é um vetor unitário que indica a direção azimutal.
Obtenha densidade de corrente (vetor). A corrente é uniformemente distribuída ao longo da seção transversal do fio?
Obtenha densidade de corrente (vetor). A corrente é uniformemente distribuída ao longo da seção transversal do fio?
Passo 1
Enunciado e o que se pede:
- Dado: dentro do fio (para
) o campo magnético é
Aqui
é a permeabilidade do vácuo,
é a corrente total no fio,
é o raio do fio,
é a distância radial (com
) e
é o versor azimutal em coordenadas cilíndricas.
- Pedidos:
- Obter a densidade de corrente vetorial
dentro do fio. - Dizer se a corrente é uniformemente distribuída ao longo da seção transversal.
- Obter a densidade de corrente vetorial
Passo 2
Ligando o campo magnético à corrente: Lei de Ampère (versão integral) — explicação e aplicação.
- A Lei de Ampère diz
onde
é um contorno fechado e
é a corrente total atravessando a superfície limitada por
. Aqui
é a integral de linha de
ao longo do caminho.
- Escolhemos um caminho circular de raio
centrado no eixo do fio (simetria cilíndrica). Para esse caminho: -
. - Como
é azimutal, . - Integrando de
a obtemos
-
- Usando a expressão dada para
:
- Pela Lei de Ampère:
Interpretação: a corrente contida em um círculo de raio
cresce com
.
Passo 3
Relação entre corrente encerrada e densidade de corrente — fórmula e explicação.
- Definição: A corrente encerrada por um círculo de raio
é a integral da densidade de corrente sobre a área do disco:
- Pelo problema, por simetria a
só tem componente axial (vamos chamar de ). Então e podemos escrever em coordenadas cilíndricas (variável radial ):
onde
é o módulo da densidade de corrente no raio
.
Passo 4
Determinar
a partir de
.
- Temos de Passo 2 que
. - Diferenciando em relação a
e usando a fórmula geral
obtemos:
- Cancelando
dos dois lados (para ):
Portanto
é independente de
: é uma constante dentro do fio.
Passo 5
Expressão vetorial da densidade de corrente e verificação da consistência.
- Como a corrente flui ao longo do eixo do fio, o vetor densidade de corrente é
onde
indica a direção axial do fio (a escolha de sinal/ direção corresponde ao sentido positivo da corrente
usado na expressão de
).
- Verificação fácil: multiplicando
pela área da seção transversal recuperamos a corrente total:
como deve ser.