Seja um fio longo de raio
, onde o campo magnético em seu interior é dado por:
onde
é a distância radial e
é um vetor unitário que indica a direção azimutal.
a) Obtenha densidade de corrente (vetor). A corrente é uniformemente distribuída ao longo da seção transversal do fio?
a) Obtenha densidade de corrente (vetor). A corrente é uniformemente distribuída ao longo da seção transversal do fio?
Passo 1
O enunciado dá o campo magnético no interior do fio (para
):
As perguntas são:
- Obter a densidade de corrente (vetor)
. - A corrente é uniformemente distribuída na seção transversal do fio?
Informações relevantes fornecidas:
-
é a permeabilidade magnética do vácuo (constante). -
é uma constante fornecida no enunciado. -
é o raio do fio. -
é a coordenada radial no interior do fio, com . - A direção do campo é azimutal (
), ou seja, tangencial aos círculos concêntricos.
Passo 2
Escolha do método e ideia física (sem resolver ainda): por simetria (campo azimutal que depende só de
) é natural usar a forma integral da Lei de Ampère para relacionar
com a corrente que atravessa um círculo de raio
. A Lei de Ampère (em magnetostática) diz:
onde
é a corrente total atravessando a área de raio
. Depois podemos relacionar
com a densidade de corrente axial
através da integral de área. Vou resolver seguindo esses passos.
Passo 3
Aplicando a Lei de Ampère numa curva circular de raio
(centro no eixo do fio). Como
é azimutal e depende só de
, o produto escalar
e a integral ao longo da circunferência de raio
dá:
Logo
Substituindo
:
Cancelando
em ambos os lados e simplificando:
Passo 4
Relacionando
com a densidade de corrente axial
. A corrente atravessando o disco de raio
é a integral da densidade sobre a área:
Para recuperar
podemos diferenciar ambos os lados em relação a
. Diferenciando:
Já temos
. Diferenciando essa expressão:
Substituindo em
e resolvendo para
:
Portanto a densidade de corrente vetorial é
valendo para
. Explicando: a direção é
(corrente ao longo do fio), e o módulo cresce como
.
Passo 5
Verificação alternativa (curta) usando a forma diferencial de Maxwell (para conferir consistência):
. Em coordenadas cilíndricas, para
temos
Calcule
. Derivando:
Dividindo por
e por
dá
confirmando o resultado obtido via Ampère.
Passo 6
Interpretação final e respostas às perguntas:
- A densidade de corrente depende de
como ; no centro ( ) e no bordo ( ) . - A corrente não é uniformemente distribuída na seção transversal — ela aumenta com
.
Resposta
Não — a corrente não é uniformemente distribuída;