Seja um fio longo de raio R, onde o campo magnético em seu interior é dado por:
\vec{B}=\frac{\mu_{0} J_{0}}{4 R^{2}} r^{3} \hat{\varphi}
onde r<R é a distância radial e \vec{\varphi} é um vetor unitário que indica a direção azimutal.
a) Obtenha densidade de corrente (vetor). A corrente é uniformemente distribuída ao longo da seção transversal do fio?

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético no interior do fio (para r<R):
\vec{B}=\frac{\mu_{0} J_{0}}{4 R^{2}} r^{3} \hat{\varphi}
As perguntas são:
  1. Obter a densidade de corrente (vetor) \vec{J}(r).
  2. A corrente é uniformemente distribuída na seção transversal do fio?
Informações relevantes fornecidas:
  • \mu_{0} é a permeabilidade magnética do vácuo (constante).
  • J_{0} é uma constante fornecida no enunciado.
  • R é o raio do fio.
  • r é a coordenada radial no interior do fio, com 0\le r<R.
  • A direção do campo é azimutal ( \hat{\varphi}), ou seja, tangencial aos círculos concêntricos.

Passo 2

Escolha do método e ideia física (sem resolver ainda): por simetria (campo azimutal que depende só de r) é natural usar a forma integral da Lei de Ampère para relacionar \vec{B} com a corrente que atravessa um círculo de raio r. A Lei de Ampère (em magnetostática) diz:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}}(r),
onde I_{\text{enc}}(r) é a corrente total atravessando a área de raio r. Depois podemos relacionar I_{\text{enc}}(r) com a densidade de corrente axial \vec{J}(r)=J_{z}(r)\,\hat{z} através da integral de área. Vou resolver seguindo esses passos.

Passo 3

Aplicando a Lei de Ampère numa curva circular de raio r (centro no eixo do fio). Como \vec{B} é azimutal e depende só de r, o produto escalar \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B_{\varphi}(r)\,d\ell e a integral ao longo da circunferência de raio r dá:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B_{\varphi}(r)\cdot (2\pi r).
Logo
B_{\varphi}(r)\,2\pi r=\mu_{0} I_{\text{enc}}(r).
Substituindo B_{\varphi}(r)=\dfrac{\mu_{0} J_{0}}{4 R^{2}} r^{3}:
\left(\frac{\mu_{0} J_{0}}{4 R^{2}} r^{3}\right)2\pi r=\mu_{0} I_{\text{enc}}(r).
Cancelando \mu_{0} em ambos os lados e simplificando:
I_{\text{enc}}(r)=\frac{2\pi J_{0}}{4 R^{2}} r^{4}=\frac{\pi J_{0}}{2 R^{2}} r^{4}.

Passo 4

Relacionando I_{\text{enc}}(r) com a densidade de corrente axial J_{z}(r). A corrente atravessando o disco de raio r é a integral da densidade sobre a área:
I_{\text{enc}}(r)=\int_{0}^{r} J_{z}(r')\;2\pi r'\,dr'.
Para recuperar J_{z}(r) podemos diferenciar ambos os lados em relação a r. Diferenciando:
\frac{dI_{\text{enc}}}{dr}=2\pi r\,J_{z}(r).
Já temos I_{\text{enc}}(r)=\dfrac{\pi J_{0}}{2 R^{2}} r^{4}. Diferenciando essa expressão:
\frac{dI_{\text{enc}}}{dr}=\frac{\pi J_{0}}{2 R^{2}}\cdot 4 r^{3}=\frac{2\pi J_{0}}{R^{2}} r^{3}.
Substituindo em \dfrac{dI_{\text{enc}}}{dr}=2\pi r\,J_{z}(r) e resolvendo para J_{z}(r):
2\pi r\,J_{z}(r)=\frac{2\pi J_{0}}{R^{2}} r^{3}\quad\Longrightarrow\quad J_{z}(r)=\frac{J_{0}}{R^{2}} r^{2}.
Portanto a densidade de corrente vetorial é
\vec{J}(r)=\frac{J_{0}}{R^{2}} r^{2}\,\hat{z},
valendo para 0\le r<R. Explicando: a direção é \hat{z} (corrente ao longo do fio), e o módulo cresce como r^{2}.

Passo 5

Verificação alternativa (curta) usando a forma diferencial de Maxwell (para conferir consistência): \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}. Em coordenadas cilíndricas, para \vec{B}=B_{\varphi}(r)\,\hat{\varphi} temos
(\nabla\times\vec{B})_{z}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r B_{\varphi}(r)\big).
Calcule rB_{\varphi}(r)=\dfrac{\mu_{0}J_{0}}{4R^{2}} r^{4}. Derivando:
\frac{d}{dr}\big(rB_{\varphi}\big)=\frac{\mu_{0}J_{0}}{4R^{2}}\cdot 4 r^{3}=\frac{\mu_{0}J_{0}}{R^{2}} r^{3}.
Dividindo por r e por \mu_{0}
J_{z}(r)=\frac{1}{\mu_{0}}\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(rB_{\varphi}\big)=\frac{J_{0}}{R^{2}} r^{2},
confirmando o resultado obtido via Ampère.

Passo 6

Interpretação final e respostas às perguntas:
  • A densidade de corrente depende de r como r^{2}; no centro ( r=0) \,J=0 e no bordo ( r=R) \,J(R)=J_{0}.
  • A corrente não é uniformemente distribuída na seção transversal — ela aumenta com r^{2}.

Resposta

\displaystyle \vec{J}(r)=\frac{J_{0}}{R^{2}}\,r^{2}\,\hat{z}\n
Não — a corrente não é uniformemente distribuída; \vec{J}(r) varia como r^{2} (logo J(0)=0 e J(R)=J_{0}).

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