Seja um cilindro longo de raio
, não-condutor. O campo elétrico no interior do cilindro
é dado por:
onde
é a distância radial,
é uma constante e
é um vetor unitário que indica a direção radial.
Encontre a densidade volumétrica de carga no interior do cilindro.
Encontre a densidade volumétrica de carga no interior do cilindro.
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico no interior de um cilindro longo e não-condutor (para
):
O que se pede: encontrar a densidade volumétrica de carga no interior do cilindro (ou seja,
para
).
Informações relevantes listadas:
Informações relevantes listadas:
- O campo é puramente radial e depende somente da coordenada radial
. - A expressão válida é para a região interior
. -
é uma constante fornecida na expressão do campo. - O cilindro é longo (simetria cilíndrica).
Passo 2
Vou aplicar a Lei de Gauss na forma integral, que é um método direto e muito usado em provas quando há simetria. A Lei de Gauss diz:
onde
é a carga total contida no volume
delimitado pela superfície fechada
, e
é a permissividade do vácuo. Explico cada termo de forma simples:
-
é o campo elétrico no local da superfície. -
é o vetor área apontando para fora da superfície, com módulo igual à pequena área. - O lado esquerdo é o fluxo elétrico total através da superfície.
Escolho uma superfície gaussiana que respeite a simetria: um cilindro coaxial de raio
(com
) e comprimento
. Por simetria:
-
é radial e tem o mesmo módulo em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano. - Nas tampas (faces planas) do cilindro gaussiano,
é perpendicular a (pois nas tampas aponta em ), então o fluxo pelas tampas é zero.
Portanto o único contributo de fluxo vem da superfície lateral.
Passo 3
Calculemos o fluxo pela superfície lateral: a área lateral é
, e em toda essa superfície
tem módulo
e está alinhado com
. Assim
O lado direito da Lei de Gauss é
. Se
é a densidade volumétrica de carga (assumimos dependência apenas radial; vamos testar se é constante), o total de carga dentro do raio
e comprimento
é
Passo 4
Agora igualamos os dois lados da Lei de Gauss:
Cancelando
(tudo diferente de zero para
e
), obtemos
Logo a densidade volumétrica de carga dentro do cilindro é constante e igual a
.
Passo 5
Como checagem extra (útil para a prova): usar a forma diferencial das equações de Maxwell,
. Para um campo puramente radial que depende só de
, a divergência em coordenadas cilíndricas é
Aqui
. Então
e assim
Pela relação
temos
, confirmando o resultado anterior.