Seja um cilindro longo de raio R, não-condutor. O campo elétrico no interior do cilindro (r<R) é dado por:
\vec{E}=\frac{\rho_{0} r}{2 \epsilon_{0}} \hat{r}
onde r é a distância radial, \rho_{0} é uma constante e \vec{r} é um vetor unitário que indica a direção radial.
Encontre a densidade volumétrica de carga no interior do cilindro.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico no interior de um cilindro longo e não-condutor (para r<R):
\vec{E}(r)=\frac{\rho_{0}\, r}{2\epsilon_{0}}\,\hat{r}.
O que se pede: encontrar a densidade volumétrica de carga no interior do cilindro (ou seja, \rho para r<R).
Informações relevantes listadas:
  • O campo é puramente radial e depende somente da coordenada radial r.
  • A expressão válida é para a região interior r<R.
  • \rho_{0} é uma constante fornecida na expressão do campo.
  • O cilindro é longo (simetria cilíndrica).

Passo 2

Vou aplicar a Lei de Gauss na forma integral, que é um método direto e muito usado em provas quando há simetria. A Lei de Gauss diz:
\oint_{\partial V}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}},
onde Q_{\text{int}} é a carga total contida no volume V delimitado pela superfície fechada \partial V, e \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Explico cada termo de forma simples:
  • \vec{E} é o campo elétrico no local da superfície.
  • d\vec{A} é o vetor área apontando para fora da superfície, com módulo igual à pequena área.
  • O lado esquerdo é o fluxo elétrico total através da superfície.
Escolho uma superfície gaussiana que respeite a simetria: um cilindro coaxial de raio r (com r<R) e comprimento L. Por simetria:
  • \vec{E} é radial e tem o mesmo módulo em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano.
  • Nas tampas (faces planas) do cilindro gaussiano, \vec{E} é perpendicular a d\vec{A} (pois d\vec{A} nas tampas aponta em \pm\hat{z}), então o fluxo pelas tampas é zero.
Portanto o único contributo de fluxo vem da superfície lateral.

Passo 3

Calculemos o fluxo pela superfície lateral: a área lateral é 2\pi r L, e em toda essa superfície \vec{E} tem módulo \dfrac{\rho_{0} r}{2\epsilon_{0}} e está alinhado com d\vec{A}. Assim
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot (2\pi r L) = \frac{\rho_{0} r}{2\epsilon_{0}}\cdot (2\pi r L) = \frac{\rho_{0}\, 2\pi r^{2} L}{2\epsilon_{0}} = \frac{\rho_{0}\,\pi r^{2} L}{\epsilon_{0}}.
O lado direito da Lei de Gauss é Q_{\text{int}}/\epsilon_{0}. Se \rho é a densidade volumétrica de carga (assumimos dependência apenas radial; vamos testar se é constante), o total de carga dentro do raio r e comprimento L é
Q_{\text{int}}=\rho\cdot (\text{volume})=\rho\cdot (\pi r^{2} L).

Passo 4

Agora igualamos os dois lados da Lei de Gauss:
\frac{\rho_{0}\,\pi r^{2} L}{\epsilon_{0}}=\frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_{0}}=\frac{\rho\cdot \pi r^{2} L}{\epsilon_{0}}.
Cancelando \pi r^{2} L/\epsilon_{0} (tudo diferente de zero para r>0 e L>0), obtemos
\rho_{0}=\rho.
Logo a densidade volumétrica de carga dentro do cilindro é constante e igual a \rho_{0}.

Passo 5

Como checagem extra (útil para a prova): usar a forma diferencial das equações de Maxwell, \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_{0}. Para um campo puramente radial que depende só de r, a divergência em coordenadas cilíndricas é
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\big(r E_{r}(r)\big).
Aqui E_{r}(r)=\dfrac{\rho_{0} r}{2\epsilon_{0}}. Então
rE_{r}(r)=\frac{\rho_{0} r^{2}}{2\epsilon_{0}},\qquad \frac{d}{dr}\big(rE_{r}\big)=\frac{\rho_{0}\,2r}{2\epsilon_{0}}=\frac{\rho_{0} r}{\epsilon_{0}},
e assim
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{1}{r}\cdot\frac{\rho_{0} r}{\epsilon_{0}}=\frac{\rho_{0}}{\epsilon_{0}}.
Pela relação \nabla\cdot\vec{E}=\rho/\epsilon_{0} temos \rho=\rho_{0}, confirmando o resultado anterior.

Resposta

\rho(r)=\rho_{0} para r<R

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