Seja
f(x, y)= x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
A função f é contínua em (0,0)?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)= xyx^2+y^2, & (x,y)neq(0,0), 0, & (x,y)=(0,0)
Queremos saber se f é contínua em (0,0). Para isso, vamos calcular
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
e comparar esse limite com f(0,0)=0.

Passo 2

Lembrando que f é contínua em (0,0) se, e somente se,
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Logo, precisamos verificar se esse limite existe e vale 0.

Passo 3

Para investigar a existência do limite, parametrize uma reta qualquer y=mx com minR. Então, para xneq0,
f(x,mx) =x,(m x)x^2+(m x)^2 =m,x^2x^2,(1+m^2) =m1+m^2
Como esse valor não depende de x, ao fazermos xto0 obtemos
limxto0f(x,mx) =m1+m^2

Passo 4

O resultado m1+m^2 depende de m. Por exemplo:
se m=0,;m1+m^2=0, se m=1,;m1+m^2=tfrac12
Como o limite varia conforme a reta escolhida, o limite geral
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) não existe.

Resposta

A função f não é contínua em (0,0).

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