Após sair de dobra espacial, a nave Uss Enterprise parou na posição (1,-1,1). Nas proximidades da nave se encontra um ponto de anti-matéria exótica cuja radiação (em bSv) na posição (x, y, z), com x, y e z medidos em unidades astronômicas, é dada por R(x, y, z)=5x^2+y^2+z^2+1.
Se o capitão Kirk ignorar a indicação do oficial de navegação e seguir pelo caminho cujas equações paramétricas são x=1+t, y=-1-t e z=raizt+1, após 3 segundos a radiação estará aumentando ou diminuindo a que taxa?

Passo 1

O enunciado dá a função de radiação
R(x,y,z)=5x^2+y^2+z^2+1
e a trajetória paramétrica
x=1+t, y=-1-t, z=raizt+1
Queremos saber se, ao longo desse caminho, a radiação está aumentando ou diminuindo após t=3 e a que taxa, ou seja, calcular dRdt em t=3. Para isso, vamos usar o teorema da derivada composta (regra da cadeia) em funções de várias variáveis.

Passo 2

Pela regra da cadeia para funções de várias variáveis, temos
dRdt =Rx,dxdt+Ry,dydt+Rz,dzdt,
onde Rx, Ry, Rz são as derivadas parciais de R em relação a x,y,z, respectivamente.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais de
R(x,y,z)=5,(x^2+y^2+z^2+1)^-1
Derivando,
Rx=-5cdot1cdot (x^2+y^2+z^2+1)^-2cdot 2x =-10x(x^2+y^2+z^2+1)^2,
Ry=-10y(x^2+y^2+z^2+1)^2, Rz=-10z(x^2+y^2+z^2+1)^2

Passo 4

As velocidades ao longo da trajetória são
dxdt=1, dydt=-1, dzdt=ddtl(raizt+1r) =12raizt+1

Passo 5

Em t=3 temos
x=1+3=4, y=-1-3=-4, z=raiz3+1=2,
x^2+y^2+z^2+1=16+16+4+1=37,
Rx(3)=-10cdot437^2=-4037^2, Ry(3)=-10cdot(-4)37^2=4037^2, Rz(3)=-10cdot237^2=-2037^2,
dzdt|t=3=12cdot2=14
Substituindo na regra da cadeia:
dRdt|t=3 =-4037^2cdot1 +4037^2cdot(-1) -2037^2cdot14 =-40+40+537^2 =-8537^2

Resposta

A radiação está diminuindo e sua taxa é
dRdt|t=3=-8537^2approx -0,0621
(bSv por segundo).

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