Seja f uma função definida em \mathbb{R} e suponha que existe k>0 tal que, para todo x,
|f(x)-f(3)| \leq k \cdot|x-3|^{2}
f é contínua em x=3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • f é uma função definida em \mathbb{R}.
  • Existe uma constante k>0 tal que, para todo x\in\mathbb{R},
|f(x)-f(3)| \leq k\cdot |x-3|^{2}.
A pergunta é: f é contínua em x=3? Peça: justificar a resposta.

Passo 2

Recordando a definição (forma \varepsilon- \delta) de continuidade num ponto: f é contínua em x=3 se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-3|<\delta, então |f(x)-f(3)|<\varepsilon.
Aqui as variáveis significam:
  • \varepsilon>0 é a tolerância desejada para a diferença de valores de f.
  • \delta>0 é a tolerância na abscissa: se x estiver a menos de \delta de 3, então f(x) estará a menos de \varepsilon de f(3).
O objetivo é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, construir um \delta>0 que funcione usando a desigualdade fornecida.

Passo 3

Usar a desigualdade dada. Para todo x vale
|f(x)-f(3)| \leq k\cdot |x-3|^{2}.
Queremos garantir |f(x)-f(3)|<\varepsilon. Uma forma direta é forçar o lado direito a ser <\varepsilon. Ou seja, escolher \delta tal que, sempre que |x-3|<\delta, tenha k\cdot |x-3|^{2}<\varepsilon.
Resolvendo k\delta^{2}=\varepsilon para \delta (lembrando que k>0), obtemos
\delta=\sqrt{\frac{\varepsilon}{k}}.
Note que \delta>0 porque \varepsilon>0 e k>0.

Passo 4

Agora fazemos o argumento \varepsilon- \delta completo: seja dado um \varepsilon>0. Defina
\delta=\sqrt{\frac{\varepsilon}{k}}.
Se x satisfaz |x-3|<\delta, então usando a desigualdade do enunciado obtemos
|f(x)-f(3)| \leq k\cdot |x-3|^{2} < k\cdot \delta^{2} = k\cdot \frac{\varepsilon}{k} = \varepsilon.
Isso é exatamente o que a definição de continuidade pede: para o \varepsilon escolhido foi encontrado um \delta>0 que garante |f(x)-f(3)|<\varepsilon sempre que |x-3|<\delta. Logo f é contínua em x=3.

Passo 5

Comentário alternativo (mais curto): da desigualdade
0 \le |f(x)-f(3)| \le k|x-3|^{2}
e sabendo que \lim_{x\to 3}k|x-3|^{2}=0, pela regra do sanduíche (squeeze theorem) segue que \lim_{x\to 3}|f(x)-f(3)|=0, isto é, \lim_{x\to 3}f(x)=f(3). Portanto f é contínua em x=3.

Resposta

Sim. f é contínua em x=3.

Exercícios relacionados