Seja
uma função definida em
e suponha que existe
tal que, para todo
,
é contínua em
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
-
é uma função definida em . - Existe uma constante
tal que, para todo ,
A pergunta é:
é contínua em
? Peça: justificar a resposta.
Passo 2
Recordando a definição (forma
-
) de continuidade num ponto:
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, então
.
Aqui as variáveis significam:
-
é a tolerância desejada para a diferença de valores de . -
é a tolerância na abscissa: se estiver a menos de de , então estará a menos de de .
O objetivo é, dado um
arbitrário, construir um
que funcione usando a desigualdade fornecida.
Passo 3
Usar a desigualdade dada. Para todo
vale
Queremos garantir
. Uma forma direta é forçar o lado direito a ser
. Ou seja, escolher
tal que, sempre que
, tenha
.
Resolvendo
para
(lembrando que
), obtemos
Note que
porque
e
.
Passo 4
Agora fazemos o argumento
-
completo: seja dado um
. Defina
Se
satisfaz
, então usando a desigualdade do enunciado obtemos
Isso é exatamente o que a definição de continuidade pede: para o
escolhido foi encontrado um
que garante
sempre que
. Logo
é contínua em
.
Passo 5
Comentário alternativo (mais curto): da desigualdade
e sabendo que
, pela regra do sanduíche (squeeze theorem) segue que
, isto é,
. Portanto
é contínua em
.
Resposta
Sim.
é contínua em
.