Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
\int \frac{1}{4+4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{4+4 x^{2}}\,dx.
Informações dadas:
  • A integral é indefinida (procura-se uma antiderivada).
  • O integrando é uma função racional simples: um constante no numerador e um polinômio quadrático no denominador.
  • Não há outras condições (constante de integração aparecerá no final).

Passo 2

Ideia principal (fórmulas que vamos usar e por quê).
  • Uma fórmula elementar importantíssima é
\frac{d}{du}\big(\arctan u\big)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Isto significa que
\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du=\arctan u + C,
onde C é a constante de integração. Vou usar essa fórmula porque o denominador da integral dada é do tipo 1+x^{2} multiplicado por uma constante.
  • Também posso usar a propriedade de fatorar constantes fora da integral:
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx
para a constante.

Passo 3

Aplicando a propriedade de constante: fatorar 4 no denominador.
\frac{1}{4+4x^{2}} = \frac{1}{4(1+x^{2})} = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto a integral fica
\int \frac{1}{4+4x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.

Passo 4

Levar a constante para fora da integral:
\int \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Agora aplico a antiderivada conhecida da função 1/(1+u^{2}), com a correspondência u=x. Pela fórmula,
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \arctan x + C.
Logo
\frac{1}{4}\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{4}\arctan x + C.

Passo 5

Comentário didático sobre técnica de substituição (mostrando um caminho alternativo que é útil em provas).
  • Outra forma é usar substituição para tornar explícito o uso da fórmula da arctan. Por exemplo, faça a substituição u=2x. Então du=2\,dx ou dx=\tfrac{1}{2}\,du.
  • Reescrevendo a integral original:
\int \frac{1}{4+4x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{4(1+x^{2})}\,dx.
Com u=2x temos 1+x^{2}=1+\big(\tfrac{u}{2}\big)^{2}=1+\tfrac{u^{2}}{4}=\tfrac{4+u^{2}}{4}. Substituindo direto na forma inicial também obtém-se um caminho equivalente; mas se partirmos de
\int \frac{1}{4+4x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx
a substituição u=x (trivial) recupera imediatamente a antiderivada \arctan x. A substituição u=2x é útil em casos onde o denominador fosse a^{2}+x^{2} com a\neq1; aí usualmente toma-se u=x/a ou u=ax para ajustar ao formato 1+u^{2}.

Passo 6

Observação sobre a constante de integração: sempre acrescentar +C ao final da antiderivada porque integramos de forma indefinida.

Resposta

\frac{1}{4}\arctan x + C

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