Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A integral é indefinida (procura-se uma antiderivada).
- O integrando é uma função racional simples: um constante no numerador e um polinômio quadrático no denominador.
- Não há outras condições (constante de integração aparecerá no final).
Passo 2
Ideia principal (fórmulas que vamos usar e por quê).
- Uma fórmula elementar importantíssima é
Isto significa que
onde
é a constante de integração. Vou usar essa fórmula porque o denominador da integral dada é do tipo
multiplicado por uma constante.
- Também posso usar a propriedade de fatorar constantes fora da integral:
para
constante.
Passo 3
Aplicando a propriedade de constante: fatorar
no denominador.
Portanto a integral fica
Passo 4
Levar a constante para fora da integral:
Agora aplico a antiderivada conhecida da função
, com a correspondência
. Pela fórmula,
Logo
Passo 5
Comentário didático sobre técnica de substituição (mostrando um caminho alternativo que é útil em provas).
- Outra forma é usar substituição para tornar explícito o uso da fórmula da arctan. Por exemplo, faça a substituição
. Então ou . - Reescrevendo a integral original:
Com
temos
. Substituindo direto na forma inicial também obtém-se um caminho equivalente; mas se partirmos de
a substituição
(trivial) recupera imediatamente a antiderivada
. A substituição
é útil em casos onde o denominador fosse
com
; aí usualmente toma-se
ou
para ajustar ao formato
.
Passo 6
Observação sobre a constante de integração: sempre acrescentar
ao final da antiderivada porque integramos de forma indefinida.