Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado o integral indefinido
. - Pede-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que . - A resposta final deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Observação algébrica útil (simplificação do integrando).
- Uma técnica muito prática nesses casos é decompor o numerador para separar termos que dão integrais elementares. Note que
- Dividindo ambos os lados por
obtém-se
- Portanto podemos reescrever o integral como soma de integrais mais simples:
Passo 3
Separar e aplicar linearidade da integral.
- A propriedade linear das integrais diz que
e que constantes podem sair da integral. - Aplicando isso:
- Agora faltam duas integrais elementares:
e .
Passo 4
Calcular
.
- A primitiva de
em relação a é simplesmente , porque . - Assim,
Passo 5
Calcular
usando substituição (explicando a técnica).
- Técnica de substituição: quando a parte denominadora é uma função linear
, uma substituição simplifica a integral. A ideia geral é: se então , e substitui-se tudo em . - Aqui faça a substituição
- Com essa substituição a integral fica
- A primitiva de
é o logaritmo natural dos valores absolutos:
- Voltando para
(já que ),
Passo 6
Juntar todos os termos e escrever a primitiva geral.
- Reunindo os resultados dos Passos 4 e 5 na expressão do Passo 3:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Verificação rápida (derivando para checar).
- Diferenciando
obtém-se
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.