Calcule as integrais a seguir usando a integrais elementares, propriedades ou técnica de integração por substituição:
\int \frac{x}{x+5} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado o integral indefinido \displaystyle \int \frac{x}{x+5}\,dx.
  • Pede-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x}{x+5}.
  • A resposta final deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Observação algébrica útil (simplificação do integrando).
  • Uma técnica muito prática nesses casos é decompor o numerador para separar termos que dão integrais elementares. Note que
x = (x+5)-5.
  • Dividindo ambos os lados por x+5 obtém-se
\frac{x}{x+5}=\frac{x+5}{x+5}-\frac{5}{x+5}=1-\frac{5}{x+5}.
  • Portanto podemos reescrever o integral como soma de integrais mais simples:
\int \frac{x}{x+5}\,dx = \int\left(1-\frac{5}{x+5}\right)\,dx.

Passo 3

Separar e aplicar linearidade da integral.
  • A propriedade linear das integrais diz que \displaystyle \int (a+b)\,dx=\int a\,dx+\int b\,dx e que constantes podem sair da integral.
  • Aplicando isso:
\int\left(1-\frac{5}{x+5}\right)\,dx = \int 1\,dx - 5\int \frac{1}{x+5}\,dx.
  • Agora faltam duas integrais elementares: \int 1\,dx e \int \dfrac{1}{x+5}\,dx.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int 1\,dx.
  • A primitiva de 1 em relação a x é simplesmente x, porque \dfrac{d}{dx}x=1.
  • Assim,
\int 1\,dx = x.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \dfrac{1}{x+5}\,dx usando substituição (explicando a técnica).
  • Técnica de substituição: quando a parte denominadora é uma função linear g(x)=x+5, uma substituição u=g(x) simplifica a integral. A ideia geral é: se u=g(x) então du=g'(x)\,dx, e substitui-se tudo em u.
  • Aqui faça a substituição
u = x+5 \quad\Rightarrow\quad du = dx.
  • Com essa substituição a integral fica
\int \frac{1}{x+5}\,dx = \int \frac{1}{u}\,du.
  • A primitiva de \dfrac{1}{u} é o logaritmo natural dos valores absolutos:
\int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C.
  • Voltando para x (já que u=x+5),
\int \frac{1}{x+5}\,dx = \ln|x+5| + C.

Passo 6

Juntar todos os termos e escrever a primitiva geral.
  • Reunindo os resultados dos Passos 4 e 5 na expressão do Passo 3:
\int \frac{x}{x+5}\,dx = x - 5\ln|x+5| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Verificação rápida (derivando para checar).
  • Diferenciando F(x)=x-5\ln|x+5| obtém-se
F'(x)=1-5\cdot\frac{1}{x+5}=\frac{x+5-5}{x+5}=\frac{x}{x+5},
que é exatamente o integrando. Assim a primitiva está correta.

Resposta

\int \frac{x}{x+5}\,dx = x - 5\ln|x+5| + C

Exercícios relacionados