Seja a função
definida por
para todo
real. Se
, encontre um
para
tal que:
Passo 1
Vamos recapitular: a função é f(x)=5x-2, e sabemos que limₓ→2 f(x)=8. O conteúdo aqui é a definição ε–δ de limite, e queremos achar um δ em função de ε=0,01 tal que 0<|x-2|<δ implique |f(x)-8|<0,01.
Passo 2
Para começar, calculamos a diferença entre f(x) e o valor do limite: |f(x)-8|. Temos
|f(x)-8| = |5x-2 - 8| = |5x - 10| = 5|x-2|.
|f(x)-8| = |5x-2 - 8| = |5x - 10| = 5|x-2|.
Passo 3
Para garantir |f(x)-8|<0,01, basta exigir 5|x-2| < 0,01. Isolando |x-2|, obtemos
|x-2| < = 0,002.
|x-2| <
Passo 4
Portanto, se escolhermos δ = 0,002, sempre que 0<|x-2|<δ teremos |f(x)-8|<0,01, exatamente o que queríamos.