Encontre a equação.
hipérbole: vértices (pm 3,0) e assíntotas y=pm 12x.

Passo 1

O enunciado nos dá uma hipérbole com vértices em (±3,0) e assíntotas y=±(1/2)x. O conteúdo da matéria é hipérbole centralizada na origem, com eixo transverso horizontal. Vamos usar a forma padrão e a relação entre a, b e as assíntotas.

Passo 2

Para hipérbole de eixo transverso horizontal centrada na origem, a forma padrão é
x^2a^2-y^2b^2=1
onde a é a distância do centro até cada vértice. Dos vértices (±3,0) vemos que a=3.

Passo 3

As assíntotas dessa hipérbole são dadas por y=±(b/a)x. Aqui nos foi informado que as assíntotas são y=±(1/2)x, então o coeficiente angular b/a deve ser 1/2.

Passo 4

Igualando b/a = 1/2 e sabendo a=3, temos b = a/2 = 3/2. Logo
b^2=l(tfrac32r)^2=tfrac94

Passo 5

Substituindo a^2 = 9 e b^2 = 9/4 na forma padrão, obtemos
x^29-y^29/4=1

Resposta

x^29-y^29/4=1

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