Determine m para que:
(g) m x^2+(m-2) x+m <= 0, forall x in R

Passo 1

Resumo do enunciado: determinar m tal que f(x)=m x^2+(m-2)x+m<=0 para todo xinR. O conteúdo é inequações de segundo grau; vamos precisar analisar o sinal de uma parábola usando o coeficiente do termo quadrático e o discriminante.

Passo 2

Para uma função quadrática f(x)=ax^2+bx+c ser sempre <=0, a concavidade deve ser voltada para baixo (isto é, a<0) e o valor máximo no vértice não pode ultrapassar zero. Em termos algébricos, isso equivale a duas condições: a<0 e discriminante De.

Passo 3

Na nossa função identificamos os coeficientes: a=m, b=m-2 e c=m. A primeira condição a<0 vira m<0.

Passo 4

Calculamos o discriminante:
De

Passo 5

Para garantir De escrevemos
-3m^2 -4m +4 <= 0 Long<=ftrightarrow 3m^2+4m-4 >= 0

Passo 6

As raízes de 3m^2+4m-4=0 são
m = -4pmraiz16+486 = -4pm86,
isto é, m=-2 e m=tfrac23. A desigualdade 3m^2+4m-4>=0 vale para m<= -2 ou m>= tfrac23.

Passo 7

Fazendo a intersecção das condições m<0 e ( m<= -2 ou m>= tfrac23), o único intervalo compatível é m<= -2.
Além disso, m=0 dá uma função linear e m>0 uma parábola voltada para cima, ambos não satisfazendo f(x)<=0 para todo x.

Resposta

m<= -2

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