3 Seja f uma função diferencial y=y(x) e z=z(x), definidas implicitamente pelo sistema seguinte.
\left\{\begin{array}{c}x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 \\\ x+y+z=2\end{array}\right. Determinar \frac{\partial y}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial x}

Passo 1

O enunciado dá um sistema de duas equações que definem implicitamente duas funções y=y(x)\) e \(z=z(x)\): \[\begin{cases} x^{2}+y^{2}+z^{2}=4,\\[4pt] x+y+z=2. \end{cases}
O que o problema pede é determinar \displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}\] e \(\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, isto é, as derivadas de y e de z em relação a x.
As informações relevantes são exatamente as duas equações acima, e que y e z são diferenciáveis em função de x.]

Passo 2

Ideia geral: como y e z dependem de x, vamos derivar cada uma das duas equações em relação a x aplicando a regra da cadeia. Regra da cadeia (explicação curta): se u=u(x) é função de x, então a derivada de u^{2} é 2u\cdot u', porque diferenciamos a potência e multiplicamos pela derivada do interior. Aqui isso se aplica a y^{2} e a z^{2}, lembrando que y'= \dfrac{dy}{dx} e z'=\dfrac{dz}{dx}.

Passo 3

Derivamos a primeira equação \;x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\; em relação a x. Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot y' (regra da cadeia).
  • \dfrac{d}{dx}(z^{2})=2z\cdot z'.
    O lado direito \dfrac{d}{dx}(4)=0. Portanto obtemos
2x+2y\,y'+2z\,z'=0.

Passo 4

Derivamos a segunda equação \;x+y+z=2\; em relação a x. Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}(x)=1.
  • \dfrac{d}{dx}(y)=y'.
  • \dfrac{d}{dx}(z)=z'.
    O lado direito \dfrac{d}{dx}(2)=0. Então obtemos
1+y'+z'=0.

Passo 5

Para simplificar a primeira equação dividimos tudo por 2\). Assim a partir de \(2x+2y\,y'+2z\,z'=0\) obtemos \[x+y\,y'+z\,z'=0.
Agora temos um sistema linear em y' e z':
\begin{cases} x+y\,y'+z\,z'=0,\\[4pt] 1+y'+z'=0. \end{cases}
Queremos resolver esse sistema para y'\] e \(z'.]

Passo 6

Isolamos z' a partir da segunda equação. Da equação 1+y'+z'=0 tem-se
z'=-1-y'.
Substituímos essa expressão na primeira equação x+y\,y'+z\,z'=0. Fazendo a substituição:
x+y\,y'+z(-1-y')=0.
Agora desenvolvemos os parênteses:
x+y\,y'-z - z\,y' = 0.
Agrupando os termos que contêm y' e os que não contêm:
(x - z) + (y - z)\,y' = 0.

Passo 7

Isolamos y' da equação (x - z) + (y - z)\,y' = 0. Passos:
(y - z)\,y' = - (x - z) = z - x.
Logo, desde que y-z\neq 0,
y' = \dfrac{z - x}{y - z}.
Isto é \displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}=\dfrac{z-x}{y-z}.

Passo 8

Agora obtemos z' usando z'=-1-y'. Substituímos y'=\dfrac{z-x}{y-z}:
z' = -1 - \dfrac{z - x}{y - z}.
Colocando em denominador comum (y-z):
z' = \dfrac{-(y-z) - (z - x)}{y - z}.
Simplificando o numerador:
-(y-z)-(z-x) = -y+z -z + x = x - y.
Portanto
z' = \dfrac{x - y}{y - z}.
Isto é \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{x-y}{y-z}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}=\dfrac{z-x}{y-z}
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\dfrac{x-y}{y-z}

Exercícios relacionados