3 Seja
uma função diferencial
e
, definidas implicitamente pelo sistema seguinte.
Determinar
e
Passo 1
O enunciado dá um sistema de duas equações que definem implicitamente duas funções
O que o problema pede é determinar
, isto é, as derivadas de
e de
em relação a
.
As informações relevantes são exatamente as duas equações acima, e que
e
são diferenciáveis em função de
.]
Passo 2
Ideia geral: como
e
dependem de
, vamos derivar cada uma das duas equações em relação a
aplicando a regra da cadeia. Regra da cadeia (explicação curta): se
é função de
, então a derivada de
é
, porque diferenciamos a potência e multiplicamos pela derivada do interior. Aqui isso se aplica a
e a
, lembrando que
e
.
Passo 3
Derivamos a primeira equação
em relação a
. Derivando termo a termo:
-
. -
(regra da cadeia). -
.
O lado direito. Portanto obtemos
Passo 4
Derivamos a segunda equação
em relação a
. Derivando termo a termo:
-
. -
. -
.
O lado direito. Então obtemos
Passo 5
Para simplificar a primeira equação dividimos tudo por
Agora temos um sistema linear em
e
:
Queremos resolver esse sistema para
.]
Passo 6
Isolamos
a partir da segunda equação. Da equação
tem-se
Substituímos essa expressão na primeira equação
. Fazendo a substituição:
Agora desenvolvemos os parênteses:
Agrupando os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 7
Isolamos
da equação
. Passos:
Logo, desde que
,
Isto é
.
Passo 8
Agora obtemos
usando
. Substituímos
:
Colocando em denominador comum
:
Simplificando o numerador:
Portanto
Isto é
.