Problema 2 Oscilador Forçado: Nesse problema estamos interessados em resolver a equação do oscilador harmônico na presença de uma força externa f(t)
x^{\prime \prime}(t)+\omega^{2} x(t)=F(t)
usando transformada de Fourier e o método de função de Green. Vamos assumir como condição inicial x(0)=x_{0} e x^{\prime}(0)=0. Desta forma, a solução do oscilador homogêneo, sem a perturbação é x_{h}(t)=x_{0} \cos (\omega t).
A partir da equação da função de Green para o problema
G^{\prime \prime}(t)+\omega^{2} G(t)=\delta(t)
mostre que a função de Green é facilmente solúvel no espaço de Fourier
\tilde{G}(k)=-\frac{1}{k^{2}-\omega^{2}}
Lembre-se que, a teoria geral de função de Green nos diz que a solução particular, da equação com a força externa, é dada por
Assumindo que a função de transformada de Fourier da função de Green é dada por
G(t)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \mathrm{~d} k \tilde{G}(k) e^{i k t}=\left\{\begin{array}{cc} \frac{1}{\omega} \sin \omega t & \text { para } t>0 \\\\ 0 & \text { para } t<0 \end{array}\right.
e que a força externa é “ligada” a partir de t=0 com um caráter oscilatório F(t)=F_{0} \cos \left(\omega_{e} t\right), mostre que a solução particular é dada por
Dica: use as fórmulas para \sin (a+b) e \sin (a-b) para simplificar o integrando, ou use a fórmula como exponencial complexa do seno e cosseno para integrar.
3. Mostre que no caso ressonante, \omega_{e}=\omega
x_{p}=-\frac{F_{0}}{\omega} t \sin \omega t
e discuta esse resultado.
Passo 1
O que o exercício pede e as informações dadas.\n
Temos a equação do oscilador forçado
x''(t)+\omega^{2}x(t)=F(t),
com condições iniciais \;x(0)=x_{0} e \;x'(0)=0. A solução homogênea (sem força) é \;x_{h}(t)=x_{0}\cos(\omega t).\n
A função de Green G(t) satisfaz
G''(t)+\omega^{2}G(t)=\delta(t).
O primeiro item pede que mostremos a forma de \tilde G(k) no espaço de Fourier.\n
A teoria diz que uma solução particular é a convolução
a partir da convolução com a G(t) dada, calcular explicitamente x_{p}(t) e obter a forma fechada em cossenos;\n
tratar o caso ressonante \omega_{e}=\omega e obter a expressão limite e discutir seu significado.\n
A partir daqui começamos a resolver.
Passo 2
Transformada de Fourier da equação da função de Green (observar convenção) — derivação de \tilde G(k).\n
Vamos usar a convenção (mais simples para este passo)
(Se for usada outra normalização simétrica o raciocínio é o mesmo e o resultado final para \tilde G(k) fica equivalente à forma pedida.)\n
Primeiro, transformamos termo a termo na equação
G''(t)+\omega^{2}G(t)=\delta(t).
A transformada de uma derivada funciona assim: para a segunda derivada
porque integrar por partes duas vezes dá esse fator -k^{2} (mostro rapidamente: cada derivada traz um fator ik ao transformar, então G''\mapsto(ik)^{2}\tilde G=-k^{2}\tilde G).\n
A transformada do termo \omega^{2}G(t) é simplesmente \omega^{2}\tilde G(k).\n
A transformada do delta é
Como G(s)=0 para s<0 (é causal), o fator G(t-\tau) só é diferente de zero quando t-\tau>0, ou seja \tau<t. Além disso, como F(\tau)=0 para \tau<0 (a força é ligada em t=0), a integral só precisa correr de \tau=0 até \tau=t. Assim
x_{p}(t)=\int_{0}^{t}G(t-\tau)F(\tau)\,d\tau.
Substituindo G(t-\tau)=\dfrac{1}{\omega}\sin\big(\omega(t-\tau)\big) e F(\tau)=F_{0}\cos(\omega_{e}\tau) obtemos
\sin\big(\omega(t-\tau)\big)\cos(\omega_{e}\tau) =\tfrac{1}{2}\Big(\sin\big(\omega t +(\omega_{e}-\omega)\tau\big) +\sin\big(\omega t -(\omega+\omega_{e})\tau\big)\Big).
Integramos termo a termo de \tau=0 a \tau=t.\n
Primeiro termo:
\int_{0}^{t}\sin\big(\omega t +(\omega_{e}-\omega)\tau\big)\,d\tau = -\frac{1}{\omega_{e}-\omega}\Big[\cos\big(\omega t+(\omega_{e}-\omega)\tau\big)\Big]_{0}^{t} = -\frac{\cos(\omega_{e}t)-\cos(\omega t)}{\omega_{e}-\omega}.
Segundo termo:
\int_{0}^{t}\sin\big(\omega t -(\omega+\omega_{e})\tau\big)\,d\tau = -\frac{1}{-(\omega+\omega_{e})}\Big[\cos\big(\omega t -(\omega+\omega_{e})\tau\big)\Big]_{0}^{t} = \frac{\cos(\omega_{e}t)-\cos(\omega t)}{\omega+\omega_{e}}.
Somando os dois e multiplicando por \tfrac{1}{2} (da identidade produto-soma) obtemos a integral inteira:
Esta é a forma fechada da solução particular obtida pela convolução com a função de Green causal. Note que pode ser reescrita trocando a ordem das diferenças com um sinal trocado; a forma acima é aquela que resulta diretamente da integral causal.
Passo 5
Caso ressonante \omega_{e}=\omega: limite e interpretação física.\n
Queremos o limite \omega_{e}\to\omega da expressão encontrada
Este é um quociente com forma 0/0 quando \omega_{e}\to\omega, então usamos a regra de L’Hôpital diferenciando em relação a \omega_{e}:\n
derivando numerador em \omega_{e}: \dfrac{d}{d\omega_{e}}\big(\cos(\omega_{e}t)-\cos(\omega t)\big)=-t\sin(\omega_{e}t).\n
derivando denominador em \omega_{e}: \dfrac{d}{d\omega_{e}}\big(\omega^{2}-\omega_{e}^{2}\big)=-2\omega_{e}.\n
Aplicando L’Hôpital e avaliando \omega_{e}=\omega obtemos
Comentário físico (curto e direto): essa solução cresce linearmente em amplitude com o tempo (termo t), multiplicado por uma oscilação \sin(\omega t). Isso é típico de ressonância num oscilador sem amortecimento: a resposta não se estaciona e a amplitude aumenta indefinidamente com o tempo (no mundo real o amortecimento limita esse crescimento). O termo linear em t é chamado termo secular e mostra que a energia colocada continuamente na frequência própria \omega se acumula.