Seja y=f(x) Uma função diferencial para todos x \xi D(f), o ponto (x, f(x)) é Solução da equação x^{3}+2 x^{2} \operatorname{sen} y-5 y^{2}=1. Determine \frac{d x}{d y}=f^{\prime}(x) (dica: use derivação implícita).

Passo 1

O enunciado dá que y=f(x) é diferenciável em todo x\in D(f) e que o ponto (x,f(x)) satisfaz a equação
x^{3}+2x^{2}\operatorname{sen} y-5y^{2}=1.
A pergunta é: determinar f'(x) (ou seja, \dfrac{dy}{dx}) usando derivação implícita. As informações relevantes são: a equação implícita que relaciona x e y e que y depende de x.

Passo 2

Ideia da derivação implícita (aula rápida): quando y está definida implicitamente por uma equação envolvendo x e y, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x. Sempre que derivarmos uma expressão que contém y, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de \operatorname{sen} y em relação a x é \cos y\cdot \dfrac{dy}{dx}, e a derivada de y^{2} é 2y\cdot \dfrac{dy}{dx}. Para produtos como x^{2}\operatorname{sen} y usamos a regra do produto: se u(x)=x^{2} e v(x)=\operatorname{sen} y(x), então (uv)'=u'v+uv'.

Passo 3

Vamos diferenciar termo a termo a equação
x^{3}+2x^{2}\operatorname{sen} y-5y^{2}=1
em relação a x.
  • Derivada de x^{3} é \;3x^{2}.
  • Para 2x^{2}\operatorname{sen} y aplicamos a regra do produto com u(x)=2x^{2} e v(x)=\operatorname{sen} y: \frac{d}{dx}\big(2x^{2}\operatorname{sen} y\big)=\frac{d}{dx}(2x^{2})\cdot \operatorname{sen} y + 2x^{2}\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{sen} y).Aqui \frac{d}{dx}(2x^{2})=4x e \frac{d}{dx}(\operatorname{sen} y)=\cos y\cdot \frac{dy}{dx} (regra da cadeia). Logo \frac{d}{dx}\big(2x^{2}\operatorname{sen} y\big)=4x\operatorname{sen} y + 2x^{2}\cos y\cdot\frac{dy}{dx}.
  • Para -5y^{2}, usando regra da cadeia: \frac{d}{dx}(-5y^{2})=-5\cdot 2y\cdot\frac{dy}{dx}=-10y\cdot\frac{dy}{dx}.
  • Derivada do lado direito 1 é 0.

Passo 4

Reunindo todas as derivadas obtemos a igualdade
3x^{2} + \big(4x\operatorname{sen} y + 2x^{2}\cos y\cdot\frac{dy}{dx}\big) -10y\cdot\frac{dy}{dx}=0.
Agora agrupamos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} e os que não contêm:
3x^{2}+4x\operatorname{sen} y + \Big(2x^{2}\cos y -10y\Big)\cdot\frac{dy}{dx}=0.

Passo 5

Isolamos \dfrac{dy}{dx}. Subtraindo 3x^{2}+4x\operatorname{sen} y dos dois lados e dividindo pelo fator que multiplica \dfrac{dy}{dx}, obtemos
\Big(2x^{2}\cos y -10y\Big)\cdot\frac{dy}{dx} = -\big(3x^{2}+4x\operatorname{sen} y\big).
Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{-\big(3x^{2}+4x\operatorname{sen} y\big)}{2x^{2}\cos y -10y}.
Podemos multiplicar numerador e denominador por -1 para uma forma alternativa mais “positiva” no numerador:
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+4x\operatorname{sen} y}{10y-2x^{2}\cos y}.
Observação importante: essa expressão vale quando o denominador 10y-2x^{2}\cos y não é zero. Se for zero, a razão \dfrac{dy}{dx} não pode ser obtida por esta fórmula (pode ser infinita ou não existir).

Passo 6

Interpretação rápida e exemplo didático: sempre que você vir um termo \operatorname{sen} y ou y^{2} dentro de uma equação implícita, lembre que ao diferenciar aparece \cos y\cdot y' ou 2y\cdot y', respectivamente — esse y' é justamente \dfrac{dy}{dx}. A regra do produto precisa ser usada quando x e y aparecem multiplicando-se, como em x^{2}\operatorname{sen} y. Se quiser a derivada inversa \dfrac{dx}{dy} (às vezes pedida), basta tomar o recíproco quando \dfrac{dy}{dx}\neq 0:
\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\dfrac{dy}{dx}}=\frac{10y-2x^{2}\cos y}{3x^{2}+4x\operatorname{sen} y}.
Força aí — essa técnica de derivação implícita aparece muito em prova; pratique com alguns exemplos parecidos que misturam produtos e funções de y.

Resposta

\displaystyle f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}+4x\operatorname{sen} y}{10y-2x^{2}\cos y}

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