Seja
Uma função diferencial para todos
, o ponto
é Solução da equação
. Determine
(dica: use derivação implícita).
Passo 1
O enunciado dá que
é diferenciável em todo
e que o ponto
satisfaz a equação
A pergunta é: determinar
(ou seja,
) usando derivação implícita. As informações relevantes são: a equação implícita que relaciona
e
e que
depende de
.
Passo 2
Ideia da derivação implícita (aula rápida): quando
está definida implicitamente por uma equação envolvendo
e
, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como função de
. Sempre que derivarmos uma expressão que contém
, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
. Para produtos como
usamos a regra do produto: se
e
, então
.
Passo 3
Vamos diferenciar termo a termo a equação
em relação a
.
- Derivada de
é . - Para
aplicamos a regra do produto com e : Aqui e (regra da cadeia). Logo - Para
, usando regra da cadeia: - Derivada do lado direito
é .
Passo 4
Reunindo todas as derivadas obtemos a igualdade
Agora agrupamos os termos que contêm
e os que não contêm:
Passo 5
Isolamos
. Subtraindo
dos dois lados e dividindo pelo fator que multiplica
, obtemos
Portanto
Podemos multiplicar numerador e denominador por
para uma forma alternativa mais “positiva” no numerador:
Observação importante: essa expressão vale quando o denominador
não é zero. Se for zero, a razão
não pode ser obtida por esta fórmula (pode ser infinita ou não existir).
Passo 6
Interpretação rápida e exemplo didático: sempre que você vir um termo
ou
dentro de uma equação implícita, lembre que ao diferenciar aparece
ou
, respectivamente — esse
é justamente
. A regra do produto precisa ser usada quando
e
aparecem multiplicando-se, como em
. Se quiser a derivada inversa
(às vezes pedida), basta tomar o recíproco quando
:
Força aí — essa técnica de derivação implícita aparece muito em prova; pratique com alguns exemplos parecidos que misturam produtos e funções de
.