Uma partícula se desloca ao longo da parábola
no primeiro quadrante de modo que sua coordenada x (medida em metros) aumente a uma velocidade constante de
. Qual é a taxa de variação em relação ao tempo do ângulo de inclinação
da reta que liga a partícula à origem quando
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- A partícula se move ao longo da parábola
no primeiro quadrante. - A coordenada
da partícula (em metros) cresce com velocidade constante . - O ângulo
é o ângulo de inclinação da reta que liga a partícula à origem (ou seja, o ângulo entre essa reta e o eixo ). - Pergunta: qual é a taxa de variação
quando ?
Passo 1 feito: identifiquei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Relacionar
com as coordenadas
e
.
- A reta que liga o ponto
à origem tem inclinação . O ângulo medido a partir do eixo satisfaz
- Usando a equação da trajetória
(dado do enunciado), substituímos e obtemos
- Portanto podemos escrever
em função de :
Explicação:
é a função inversa da tangente (quando usamos
em radianos e pontos no primeiro quadrante), então
é o arco cuja tangente é
.
Passo 3
Diferenciar em relação ao tempo para achar
.
- Aplicamos a regra da cadeia: se
, então
- Aqui usei que a derivada da função
em relação a é . Ou seja, para qualquer função ,
- No nosso problema
, então a fórmula acima vale diretamente.
Passo 4
Substituir os valores numéricos pedidos.
- Queremos
quando e sabemos . Portanto
- Em forma decimal (usando vírgula conforme convém) isso é
.
Passo 5
Unidades e interpretação final.
- Como
é um ângulo e usamos a derivada padrão da função trigonométrica (cuja fórmula assume ângulos em radianos), a unidade de é . - Então o valor
representa . Isso significa que, naquele instante, o ângulo que a reta da origem ao ponto faz com o eixo está aumentando a uma taxa de radianos por segundo.
Passo 6
Dica prática para a prova (amigo explicando):
- Sempre que um ângulo vem da inclinação
, pense em . Se puder ser escrito em termos de , às vezes a expressão simplifica (como aqui deu ). - Lembre-se: derivada de
é — essa é a fórmula que salva muita conta rápida em problemas de velocidade angular. - Respira fundo: você já identificou a relação, aplicou a cadeia e substituiu os números — rotina de prova.