Uma partícula se desloca ao longo da parábola y=x^{2} no primeiro quadrante de modo que sua coordenada x (medida em metros) aumente a uma velocidade constante de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é a taxa de variação em relação ao tempo do ângulo de inclinação \Theta da reta que liga a partícula à origem quando \mathrm{x}=2 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A partícula se move ao longo da parábola y=x^{2} no primeiro quadrante.
  • A coordenada x da partícula (em metros) cresce com velocidade constante \dfrac{dx}{dt}=12\\ \mathrm{m/s}.
  • O ângulo \Theta é o ângulo de inclinação da reta que liga a partícula à origem (ou seja, o ângulo entre essa reta e o eixo x).
  • Pergunta: qual é a taxa de variação \dfrac{d\Theta}{dt} quando x=2\\ \mathrm{m}?
Passo 1 feito: identifiquei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Relacionar \Theta com as coordenadas x e y.
  • A reta que liga o ponto (x,y) à origem tem inclinação \dfrac{y}{x}. O ângulo \Theta medido a partir do eixo x satisfaz
\tan(\Theta)=\frac{y}{x}.
  • Usando a equação da trajetória y=x^{2} (dado do enunciado), substituímos y e obtemos
\tan(\Theta)=\frac{x^{2}}{x}=x.
  • Portanto podemos escrever \Theta em função de x:
\Theta=\arctan(x).
Explicação: \arctan é a função inversa da tangente (quando usamos \Theta em radianos e pontos no primeiro quadrante), então \Theta é o arco cuja tangente é x.

Passo 3

Diferenciar em relação ao tempo para achar \dfrac{d\Theta}{dt}.
  • Aplicamos a regra da cadeia: se \Theta(t)=\arctan\big(x(t)\big), então
\frac{d\Theta}{dt}=\frac{d}{dt}\big(\arctan(x(t))\big)=\frac{1}{1+\big(x(t)\big)^{2}}\cdot\frac{dx}{dt}.
  • Aqui usei que a derivada da função \arctan(u) em relação a u é \dfrac{1}{1+u^{2}}. Ou seja, para qualquer função u(t),
\frac{d}{dt}\arctan(u(t))=\frac{u'(t)}{1+u(t)^{2}}.
  • No nosso problema u(t)=x(t), então a fórmula acima vale diretamente.

Passo 4

Substituir os valores numéricos pedidos.
  • Queremos \dfrac{d\Theta}{dt} quando x=2 e sabemos \dfrac{dx}{dt}=12\\ \mathrm{m/s}. Portanto
\frac{d\Theta}{dt}\Bigg|_{x=2}=\frac{1}{1+(2)^{2}}\cdot 12=\frac{12}{1+4}=\frac{12}{5}.
  • Em forma decimal (usando vírgula conforme convém) isso é \;2,4.

Passo 5

Unidades e interpretação final.
  • Como \Theta é um ângulo e usamos a derivada padrão da função trigonométrica (cuja fórmula assume ângulos em radianos), a unidade de \dfrac{d\Theta}{dt} é \mathrm{rad/s}.
  • Então o valor \dfrac{12}{5} representa \dfrac{12}{5}\\ \mathrm{rad/s}. Isso significa que, naquele instante, o ângulo que a reta da origem ao ponto faz com o eixo x está aumentando a uma taxa de \dfrac{12}{5} radianos por segundo.

Passo 6

Dica prática para a prova (amigo explicando):
  • Sempre que um ângulo vem da inclinação y/x, pense em \Theta=\arctan(y/x). Se y puder ser escrito em termos de x, às vezes a expressão simplifica (como aqui deu \Theta=\arctan(x)).
  • Lembre-se: derivada de \arctan(u) é \dfrac{u'}{1+u^{2}} — essa é a fórmula que salva muita conta rápida em problemas de velocidade angular.
  • Respira fundo: você já identificou a relação, aplicou a cadeia e substituiu os números — rotina de prova.

Resposta

\dfrac{12}{5}\\ \mathrm{rad/s}

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