Determinar f^{\prime}(x) sendo f(x)=\left(2^{3 x}\right) \times\left(\sqrt[3]{5 x^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada f'(x) da função
f(x)=\left(2^{3x}\right)\times\left(\sqrt[3]{5x^{2}}\right).
Informações dadas:
f(x)=2^{3x}\cdot(5x^{2})^{1/3}.
O que se pede: determinar explicitamente f'(x).

Passo 2

Vamos separar a função em dois fatores para aplicar a regra do produto. Definimos
u(x)=2^{3x}, \qquad v(x)=(5x^{2})^{1/3}.
Então
f(x)=u(x)\,v(x).

Passo 3

Regra do produto (a “fórmula” que vamos usar): se \;f(x)=u(x)v(x)\; então
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Vou calcular u'(x) e v'(x) separadamente e depois somar conforme essa regra.

Passo 4

Derivada de u(x)=2^{3x}.
Usamos a regra para exponenciais com base constante: se \;h(x)=a^{g(x)}\; com a>0, então
h'(x)=a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x).
Aqui a=2 e g(x)=3x, logo g'(x)=3. Portanto
u'(x)=2^{3x}\ln 2\cdot 3=3\ln 2\;2^{3x}.

Passo 5

Derivada de v(x)=(5x^{2})^{1/3}.
Primeiro reescrevo com potências:
v(x)=5^{1/3}\,x^{2/3},
pois (5x^{2})^{1/3}=5^{1/3}(x^{2})^{1/3}=5^{1/3}x^{2/3}.
Agora aplico a regra da potência: se \;w(x)=x^{n}\; então \;w'(x)=n x^{n-1}.
Aqui n=\tfrac{2}{3}, logo
v'(x)=5^{1/3}\cdot\frac{2}{3}x^{2/3-1}=5^{1/3}\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}.
Assim
v'(x)=\frac{2}{3}5^{1/3}x^{-1/3}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\bigl(3\ln 2\;2^{3x}\bigr)\bigl(5^{1/3}x^{2/3}\bigr) +\bigl(2^{3x}\bigr)\bigl(\tfrac{2}{3}5^{1/3}x^{-1/3}\bigr).

Passo 7

Factorizo o fator comum 2^{3x}5^{1/3}x^{-1/3} para simplificar:
\begin{aligned} f'(x) &=2^{3x}5^{1/3}x^{-1/3}\Bigl(3\ln 2\;x+\tfrac{2}{3}\Bigr)\\[4pt] &= \frac{1}{3}\,2^{3x}5^{1/3}x^{-1/3}\bigl(9\ln 2\;x+2\bigr). \end{aligned}
Ambas formas são equivalentes; a primeira é mais direta e fácil de interpretar.]

Resposta

f'(x)=2^{3x}5^{1/3}x^{-1/3}\Bigl(3\ln 2\;x+\tfrac{2}{3}\Bigr).

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