Seja z=z(x, y) uma função diferenciável definida implicitamente pela equação
e^z=x y z+y(sen x)+1
Sabendo que o ponto (x, y, z)=(0,1,0) verifica a equação acima, calcule partial zpartial x(0,1) e partial zpartial y(0,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função diferenciável definida implicitamente por
e^{z}=x y z+y\sin x+1, e diz que o ponto (x,y,z)=(0,1,0) satisfaz essa equação. Precisamos usar diferenciação implícita para achar partial z/partial x e partial z/partial y em (0,1).

Passo 2

Derivando implicitamente em relação a x, tratamos y como constante. Do lado esquerdo temos:
ddx(e^z)=e^z,zx
Do lado direito aplicamos produto em xy z e derivada de ysin x:
ddx(x y z)=y z + x y zx,
ddx(ysin x)=ycos x
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Passo 3

Agrupando tudo, obtemos
e^zzx=y z + x y zx+ycos x
e isolamos zx:
(e^z-x y),zx=y(z+cos x)
zx=y(z+cos x)e^z-x y

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y,z)=(0,1,0). Temos e^0=1, x y=0, z+cos x=0+1=1. Então
zx(0,1)=1cdot11-0=1

Passo 5

Agora derivamos implicitamente em relação a y, tratando x como constante. Do lado esquerdo:
ddy(e^z)=e^zzy
Do lado direito:
ddy(x y z)=x z + x y zy,
ddy(ysin x)=sin x
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Passo 6

Agrupando, temos
e^zzy=x z + x y zy+sin x
e isolamos zy:
(e^z-x y),zy=x z+sin x
zy=x z+sin xe^z-x y

Passo 7

Avaliando em (0,1,0): x z+sin x=0+0=0 e e^0-0=1. Logo
zy(0,1)=0

Resposta

partial zpartial x(0,1)=1,; partial zpartial y(0,1)=0

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