Seja
uma função diferenciável definida implicitamente pela equação
Sabendo que o ponto
verifica a equação acima, calcule
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função diferenciável definida implicitamente por
e^{z}=x y z+y\sin x+1, e diz que o ponto (x,y,z)=(0,1,0) satisfaz essa equação. Precisamos usar diferenciação implícita para achar e
em (0,1).
e^{z}=x y z+y\sin x+1, e diz que o ponto (x,y,z)=(0,1,0) satisfaz essa equação. Precisamos usar diferenciação implícita para achar
Passo 2
Derivando implicitamente em relação a x, tratamos y como constante. Do lado esquerdo temos:
Do lado direito aplicamos produto em
e derivada de
:
Logo
Passo 3
Agrupando tudo, obtemos
e isolamos
:
Passo 4
Agora avaliamos em (x,y,z)=(0,1,0). Temos
,
,
. Então
Passo 5
Agora derivamos implicitamente em relação a y, tratando x como constante. Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Logo
Passo 6
Agrupando, temos
e isolamos
:
Passo 7
Avaliando em (0,1,0):
e
. Logo