Seja f(x, y)=3 x^2 y^2, em que x=1+2 t e y=e^3-t. Utilize a Regra da Cadeia para determinar d fd t.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
f(x,y)=3x^2y^2
com as parametrizações
x(t)=1+2t, y(t)=e^3-t
e pede dfdt usando a Regra da Cadeia. Vamos precisar das derivadas parciais de f e das derivadas de x(t) e y(t).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
A derivada parcial em relação a x é
partial fpartial x =partialpartial xl(3x^2y^2r) =6x,y^2
A derivada parcial em relação a y é
partial fpartial y =partialpartial yl(3x^2y^2r) =6x^2,y

Passo 3

Calcular as derivadas de x(t) e y(t).
dxdt =ddt(1+2t)=2, dydt =ddtl(e^3-tr) =-e^3-t

Passo 4

Aplicar a Regra da Cadeia:
dfdt =partial fpartial x,dxdt +partial fpartial y,dydt

Passo 5

Substituindo as expressões de partial f/partial x, partial f/partial y, dx/dt e dy/dt:
dfdt =6x,y^2cdot2 +6x^2,ycdot(-e^3-t) =12x,y^2-6x^2,y,e^3-t
Como y=e^3-t, temos y^2=e^2(3-t) e y,e^3-t=e^2(3-t), então
dfdt =12x,e^2(3-t)-6x^2,e^2(3-t) =6e^2(3-t)l(2x-x^2r)
Substituindo x=1+2t:
2x-x^2=2(1+2t)-(1+2t)^2 =2+4t-1-4t-4t^2 =1-4t^2
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dfdt =6l(1-4t^2r)e^2(3-t)

Resposta

dfdt =6l(1-4t^2r)e^2(3-t)

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