Localize a raiz real de f(x)=x^3+x^2+3 x+6, x in R, em um intervalo de comprimento 1 . Justifique a existência da raiz.

Passo 1

O enunciado pede para localizar uma raiz real da função f(x)=x^3+x^2+3x+6 num intervalo de comprimento 1, justificando a existência dessa raiz. Como f é um polinômio, sabemos que ela é contínua em R. Para garantir a existência de uma raiz num intervalo, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 2

Para aplicar o TVI, escolhemos o ponto x=-2 e calculamos f(-2):
f(-2)=(-2)^3+(-2)^2+3(-2)+6=-8+4-6+6=-4

Passo 3

Em seguida, escolhemos o ponto x=-1 e calculamos f(-1):
f(-1)=(-1)^3+(-1)^2+3(-1)+6=-1+1-3+6=3

Passo 4

Como f(-2)=-4<0 e f(-1)=3>0, e f é contínua, o TVI garante que existe pelo menos um cin(-2,-1) tal que f(c)=0. Além disso, (-2,-1) tem comprimento 1.

Passo 5

Portanto, encontramos um intervalo de comprimento 1 que contém a raiz real de f(x).

Resposta

A raiz real de f(x) está no intervalo [-2, -1].

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