Suponha que an>0, para todo n in N e quelimn. an neq 0. Mostre que a série sumn=1^+infty an diverge.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência positiva an>0 e que limntoinfty n,an neq 0. Estamos no conteúdo de critérios de convergência de séries, em particular o teste de comparação e o uso de séries conhecidas (a harmônica).

Passo 2

Como limntoinfty n,an = L neq 0, há dois casos: ou L é um número real não nulo, ou L=+infty. Em ambos podemos extrair uma constante positiva varepsilon>0 e um índice N tais que para todo n>= N vale
n,an > varepsilon

Passo 3

Da desigualdade acima segue que para n>= N temos
$$a_n > \frac{\varepsilon}{n}.
$$

Passo 4

Como a série harmônica sumn=1^infty tfrac1n é divergente, podemos comparar termo a termo para n>= N:
$$a_n \ge \frac{\varepsilon}{n} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=N}^{\infty} a_n \ge \varepsilon \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{n} = +\infty.
$$

Passo 5

Logo, a parte final da série sumn=1^inftyan diverge, e portanto a própria série diverge.

Resposta

A série sumn=1^+inftyan diverge.

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