Suponha que
, para todo
e quelimn.
. Mostre que a série
diverge.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma sequência positiva
e que
. Estamos no conteúdo de critérios de convergência de séries, em particular o teste de comparação e o uso de séries conhecidas (a harmônica).
Passo 2
Como
, há dois casos: ou
é um número real não nulo, ou
. Em ambos podemos extrair uma constante positiva
e um índice
tais que para todo
vale
Passo 3
Da desigualdade acima segue que para
temos
$$a_n > \frac{\varepsilon}{n}.
$$
Passo 4
Como a série harmônica
é divergente, podemos comparar termo a termo para
:
$$a_n \ge \frac{\varepsilon}{n} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=N}^{\infty} a_n \ge \varepsilon \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{n} = +\infty.
$$
Passo 5
Logo, a parte final da série
diverge, e portanto a própria série diverge.
Resposta
A série
diverge.