Classifique os pontos críticos das funções abaixo
(g) f(x, y)=e^x sen y, 0 <= x <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para classificar os pontos críticos da função $ f(x, y) = e^{x} \sin y $ no intervalo $ 0 \leq x \leq 2\pi $. Isso envolve calcular onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são zero e depois determinar que tipo de ponto crítico temos nesses locais. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
fx = 0 e fy = 0
Então, temos:
e^x sin y = 0
e^x cos y = 0

Passo 4

Observando as equações acima:
  1. $ e^{x} $ nunca é zero para qualquer valor real de $ x $. Portanto, para que $ f_x = 0 $, precisamos que $ \sin y = 0 $.
  2. Da mesma forma, para $ f_y = 0 $, precisamos que $ \cos y = 0 $.

Passo 5

Vamos resolver $ \sin y = 0 $ e $ \cos y = 0 $:
  • $ \sin y = 0 $ quando $ y = k\pi $, onde $ k $ é um inteiro.
  • $ \cos y = 0 $ quando $ y = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é um inteiro.
No entanto, não existe valor de $ y $ que satisfaça simultaneamente $ \sin y = 0 $ e $ \cos y = 0 $. Portanto, não há pontos onde ambas as derivadas parciais são zero.

Passo 6

Como não encontramos nenhum ponto que satisfaça $ f_x = 0 $ e $ f_y = 0 $ ao mesmo tempo, concluímos que a função $ f(x, y) = e^{x} \sin y $ não possui pontos críticos no intervalo $ 0 \leq x \leq 2\pi $.

Resposta

A função $ f(x, y) = e^{x} \sin y $ não possui pontos críticos no intervalo dado $ 0 \leq x \leq 2\pi $.

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