Seja f uma função diferenciável tal que f(2)=1, f^prime(2)=3, f(5)=0 e f^prime(5)=2.
Determine h^prime(1), onde h(x)=2[f(x^2+1)]^3-e^f(5 x).

Passo 1

Vamos resumir: temos uma função diferenciável f com f(2)=1, f'(2)=3, f(5)=0 e f'(5)=2. A função composta é h(x)=2l[f(x^2+1)r]^3 - e^f(5x), e queremos h'(1). Para resolver, vamos usar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, derivamos o termo 2l[f(x^2+1)r]^3. Seja u=x^2+1 e g(u)=2[f(u)]^3. Pela regra da cadeia,
ddxg(u(x)) = g'(u)cdot u'(x)
onde
g'(u) = 2cdot 3[f(u)]^2 cdot f'(u) = 6[f(u)]^2 f'(u),
e
nu'(x) = 2x
Logo,
ddxl(2[f(x^2+1)]^3r) = 6[f(x^2+1)]^2,f'(x^2+1)cdot 2x = 12x[f(x^2+1)]^2 f'(x^2+1)

Passo 3

Agora, derivamos -e^f(5x). Seja v(x)=f(5x) e h2(v)=-e^v. Aplicando a regra da cadeia duas vezes,
ddx(-e^f(5x)) = -e^f(5x) cdot f'(5x)cdot 5 = -5f'(5x)e^f(5x)

Passo 4

Somando as duas partes, obtemos
h'(x) = 12x[f(x^2+1)]^2 f'(x^2+1) - 5f'(5x)e^f(5x)

Passo 5

Finalmente, fazemos x=1. Então x^2+1=2 e 5x=5, usando os valores dados: f(2)=1, f'(2)=3, f(5)=0, f'(5)=2. Substituindo:
h'(1) = 12cdot1cdot[f(2)]^2cdot f'(2) - 5cdot f'(5),e^f(5) = 12cdot1cdot1^2cdot3 - 5cdot2,e^0 = 36 - 10 = 26

Resposta

26

Exercícios relacionados