Resolva a equação da onda
, sujeita a condições de contorno iniciais dadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação da onda $ u_{tt} = u_{xx} $ que está sujeita a algumas condições de contorno e iniciais. A matéria aqui envolve equações diferenciais parciais, especificamente a equação da onda, e vamos usar a técnica de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver. Precisaremos entender conceitos como condições de contorno, expansão em séries e coeficientes de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições de contorno: $ u(0, t) = 0 $ e $ u(\pi, t) = 0 $. Isso significa que nas extremidades $ x = 0 $ e $ x = \pi $, a função $ u $ é sempre zero para qualquer tempo $ t $. Essas são chamadas de condições de contorno de Dirichlet.
Passo 3
Agora, as condições iniciais são $ u(x, 0) = x(\pi - x) $ e $ u_t(x, 0) = \sin(x) $. A primeira condição nos dá a forma da onda no tempo $ t = 0 $, e a segunda nos dá a velocidade inicial da onda nesse mesmo instante.
Passo 4
Vamos supor que a solução pode ser escrita como uma soma de funções separáveis, ou seja:
Aqui, $ \sin(nx) $ satisfaz as condições de contorno, e $ A_n $ e $ B_n $ são coeficientes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicando a condição inicial $ u(x, 0) = x(\pi - x) $, temos:
Isso significa que devemos expandir $ x(\pi - x) $ em uma série de senos. Para encontrar os coeficientes $ A_n $, usamos a fórmula dos coeficientes de Fourier para funções em intervalos de $ [0, \pi] $.
Passo 6
Calculamos $ A_n $ usando:
Resolvendo essa integral, obtemos os valores de $ A_n $.
Passo 7
Agora, aplicamos a segunda condição inicial $ u_t(x, 0) = \sin(x) $. Derivando $ u(x, t) $ em relação ao tempo $ t $, temos:
Isso implica que apenas o termo com $ n = 1 $ é diferente de zero, então $ B_1 = 1 $ e $ B_n = 0 $ para $ n \geq 2 $.
Passo 8
Finalmente, substituímos os coeficientes $ A_n $ e $ B_n $ na expressão geral da solução:
Com $ A_n $ obtidos no passo 6 e $ B_1 = 1 $, e os demais $ B_n = 0 $.
Resposta
A solução da equação da onda é dada por:
onde $ \delta_{n,1} $ é o delta de Kronecker, que é igual a 1 quando $ n = 1 $ e 0 caso contrário.