Seja f uma função de domínio A e conjunto imagem B= {-1, 0, 3, 8}. Os elementos de A são números positivos e, para todo x pertencente ao conjunto A, f(x)= x²-2x. Calcule f(4) e determine o conjunto A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com funções, que é um assunto de Matemática, especificamente de Álgebra. Precisamos calcular $ f(4) $ usando a função dada e também determinar o conjunto $ A $, que é o domínio da função, dado que a imagem é $ B = {-1, 0, 3, 8} $ e que todos os elementos de $ A $ são números positivos.

Passo 2

Vamos começar calculando $ f(4) $. Sabemos que $ f(x) = x^2 - 2x $. Basta substituir $ x $ por 4 na expressão da função.
f(4)

Passo 3

Agora, precisamos determinar o conjunto $ A $. Sabemos que a imagem da função, $ B $, é $ {-1, 0, 3, 8} $. Isso significa que para cada elemento $ y $ em $ B $, existe pelo menos um $ x $ em $ A $ tal que $ f(x) = y $.
Vamos resolver a equação $ f(x) = x^2 - 2x $ para cada $ y $ em $ B $.

Passo 4

Para $ y = -1 $:
y = -1
x^2 - 2x = -1
x^2 - 2x + 1 = 0
(x - 1)^2 = 0

Passo 5

Para $ y = 0 $:
y = 0
x^2 - 2x = 0
x(x - 2) = 0
Como $ A $ contém apenas números positivos, descartamos $ x = 0 $.
Então, $ x = 2 $.

Passo 6

Para $ y = 3 $:
y = 3
x^2 - 2x = 3
x^2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
Novamente, descartamos $ x = -1 $, pois $ A $ tem números positivos.
Então, $ x = 3 $.

Passo 7

Para $ y = 8 $:
y = 8
x^2 - 2x = 8
x^2 - 2x - 8 = 0
x = 2 pm raiz4 + 322
x = 2 pm raiz362
x = 2 pm 62
Desconsideramos $ x = -2 $, então $ x = 4 $.

Passo 8

Agora, juntando todos os valores de $ x $ encontrados (1, 2, 3, 4), temos que o conjunto $ A $ é $ {1, 2, 3, 4} $.

Resposta

f(4) = 8
Conjunto $ A $: $ {1, 2, 3, 4} $

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