Seja f uma função de domínio A e conjunto imagem B= {-1, 0, 3, 8}. Os elementos de A são números positivos e, para todo x pertencente ao conjunto A, f(x)= x²-2x. Calcule f(4) e determine o conjunto A.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com funções, que é um assunto de Matemática, especificamente de Álgebra. Precisamos calcular $ f(4) $ usando a função dada e também determinar o conjunto $ A $, que é o domínio da função, dado que a imagem é $ B = {-1, 0, 3, 8} $ e que todos os elementos de $ A $ são números positivos.
Passo 2
Vamos começar calculando $ f(4) $. Sabemos que $ f(x) = x^2 - 2x $. Basta substituir $ x $ por 4 na expressão da função.
Passo 3
Agora, precisamos determinar o conjunto $ A $. Sabemos que a imagem da função, $ B $, é $ {-1, 0, 3, 8} $. Isso significa que para cada elemento $ y $ em $ B $, existe pelo menos um $ x $ em $ A $ tal que $ f(x) = y $.
Vamos resolver a equação $ f(x) = x^2 - 2x $ para cada $ y $ em $ B $.
Passo 4
Para $ y = -1 $:
Passo 5
Para $ y = 0 $:
Como $ A $ contém apenas números positivos, descartamos $ x = 0 $.
Então, $ x = 2 $.
Passo 6
Para $ y = 3 $:
Novamente, descartamos $ x = -1 $, pois $ A $ tem números positivos.
Então, $ x = 3 $.
Passo 7
Para $ y = 8 $:
Desconsideramos $ x = -2 $, então $ x = 4 $.
Passo 8
Agora, juntando todos os valores de $ x $ encontrados (1, 2, 3, 4), temos que o conjunto $ A $ é $ {1, 2, 3, 4} $.
Resposta
Conjunto $ A $: $ {1, 2, 3, 4} $