(1,0 pt.) Seja z uma função de duas variáveis definida por z=g(3 t-5, \sqrt{5-2 t}), onde g é uma função diferenciável dada.
a) Expresse \frac{d z}{d t} em termos das derivadas parciais de g.
b) Calcule \left.\left.\frac{d z}{d t}\right|_{( } t=2\right), sabendo que \frac{\partial g}{\partial x}(1,1)=3 e \frac{\partial g}{\partial y}(1,1)=-2.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A função é z=g(3t-5,\sqrt{5-2t}), onde g é diferenciável.
O enunciado pede:
(a) Expressar \dfrac{dz}{dt} em termos das derivadas parciais de g.
(b) Calcular \left.\dfrac{dz}{dt}\right|_{t=2}, sabendo que \dfrac{\partial g}{\partial x}(1,1)=3 e \dfrac{\partial g}{\partial y}(1,1)=-2.
Informação adicional importante: g é diferenciável, portanto as derivadas parciais existem e a regra da cadeia vale.
Passo 2
Escrevemos a composição de forma explícita para visualizar melhor as dependências:
Isso deixa claro que z é uma função de t obtida pela composição de g(x,y) com as curvas x(t) e y(t).
Passo 3
Apresento a regra da cadeia para esta situação (explicando por que ela vale). Se g(x,y) é diferenciável e x(t),y(t) são funções diferenciáveis de t, então a variação de z quando t muda pode ser aproximada linearmente por
Interpretação simples: pequenos incrementos em t provocam pequenas mudanças em x e y; a contribuição total para z é a soma das contribuições de cada variável, pesadas pelas taxas \dfrac{\partial g}{\partial x} e \dfrac{\partial g}{\partial y}.
Passo 4
Calculo agora \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} explicitamente.
Para x(t)=3t-5:
\frac{dx}{dt}=3.
Para y(t)=(5-2t)^{1/2} uso a regra da cadeia (potência + derivada do interno):
Faço as contas: 3\cdot 3=9 e (-2)\cdot(-1)=2, portanto
\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=2}=9+2=11.
Passo 7
Dica rápida para a prova: ao ver g(\text{algo em }t,\;\text{algo em }t) pense logo em definir x(t) e y(t), calcule dx/dt e dy/dt separadamente e aplique a regra da cadeia. Se precisar, verifique os pontos em que avaliará as parciais antes de substituir valores numéricos. Força — você chega lá!