(1,0 pt.) Seja
uma função das variáveis
e
dada por
.
a) Calcule
e
- b) Calcule as derivadas parciais mistas de segunda ordem de
e mostre que, neste caso,
.
a) Calcule
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
e pede duas coisas:
- (a) Calcular
e . - (b) Calcular as derivadas parciais mistas de segunda ordem de
e mostrar que, no ponto ,
Informações relevantes dadas:
- A função
é um polinômio em e . - O ponto onde devemos avaliar as derivadas é
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
-
é a taxa de variação de em relação a mantendo fixo. Na prática, trata-se de derivar como se fosse uma função só de , considerando constante. -
é a taxa de variação de em relação a mantendo fixo.
Derivadas de segunda ordem:
-
é a derivada, em , de . -
é a derivada, em , de . - As mistas
e são obtidas derivando-se primeiro por uma variável e depois pela outra.
Como dica prática: para cada termo polinomial, aplica-se a regra usual da derivada (potência, constante, produto simples) tratando a outra variável como constante.
Passo 3
Calcular
passo a passo, derivando termo a termo e mantendo
constante.
A função é
Derivando cada termo em relação a
:
-
-
(porque é considerado constante). -
(produto simples: é constante). -
-
Somando,
Passo 4
Agora a segunda derivada parcial em
:
é a derivada de
em relação a
, mantendo
fixo.
Partimos de
Derivando em relação a
:
Logo,
Avaliação no ponto
:
Passo 5
Calcular
derivando termo a termo em relação a
, mantendo
fixo.
Da função
temos:
-
(pois é constante). -
-
-
-
Somando,
Passo 6
Agora a segunda derivada parcial em
:
é a derivada de
em relação a
.
Partimos de
Derivando em relação a
:
Logo,
Avaliação no ponto
:
Passo 7
Calcular a derivada mista
, que é a derivada em
de
.
Temos
Derivando essa expressão em relação a
:
-
(pois é tratado como constante). -
-
Portanto,
Avaliação no ponto
dá
Passo 8
Calcular a derivada mista na outra ordem
, isto é, derivar
em relação a
.
Lembrando
Derivando em relação a
:
-
(pois é constante). -
-
Logo,
e, em particular,
Passo 9
Por que as duas derivadas mistas são iguais neste caso?
- A função
é um polinômio (função muito suave): todas as derivadas parciais existentes são contínuas em todo . Pelo teorema de Clairaut (ou teorema da igualdade das derivadas mistas), quando as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas numa vizinhança do ponto, então
Assim, para o nosso polinômio, as duas mistas coincidem e ambas valem
no ponto
.