(1,0 pt.) Seja z uma função das variáveis x e y dada por z=-2 x^{4}+y^{3}-2 x y+3 x-2 y.
a) Calcule \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}(-1,1) e \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}(-1,1)
  • b) Calcule as derivadas parciais mistas de segunda ordem de z e mostre que, neste caso, \frac{\partial^{2} z}{\partial y x}(-1,1)=\frac{\partial^{2} z}{\partial x y}(-1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
z(x,y) = -2 x^{4} + y^{3} - 2 x y + 3 x - 2 y
e pede duas coisas:
  • (a) Calcular \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}(-1,1) e \dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}(-1,1).
  • (b) Calcular as derivadas parciais mistas de segunda ordem de z e mostrar que, no ponto (-1,1),
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}(-1,1)=\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}(-1,1).
Informações relevantes dadas:
  • A função z é um polinômio em x e y.
  • O ponto onde devemos avaliar as derivadas é (-1,1).

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
  • \dfrac{\partial z}{\partial x}(x,y) é a taxa de variação de z em relação a x mantendo y fixo. Na prática, trata-se de derivar z como se fosse uma função só de x, considerando y constante.
  • \dfrac{\partial z}{\partial y}(x,y) é a taxa de variação de z em relação a y mantendo x fixo.
Derivadas de segunda ordem:
  • \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} é a derivada, em x, de \dfrac{\partial z}{\partial x}.
  • \dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} é a derivada, em y, de \dfrac{\partial z}{\partial y}.
  • As mistas \dfrac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x} e \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y} são obtidas derivando-se primeiro por uma variável e depois pela outra.
Como dica prática: para cada termo polinomial, aplica-se a regra usual da derivada (potência, constante, produto simples) tratando a outra variável como constante.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial x}(x,y) passo a passo, derivando termo a termo e mantendo y constante.
A função é \,z(x,y) = -2 x^{4} + y^{3} - 2 x y + 3 x - 2 y.
Derivando cada termo em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-2 x^{4}\big) = -2 \cdot 4 x^{3} = -8 x^{3}.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(y^{3}\big) = 0 (porque y é considerado constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-2 x y\big) = -2 y (produto simples: y é constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(3 x\big) = 3.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-2 y\big) = 0.
Somando,
\dfrac{\partial z}{\partial x}(x,y) = -8 x^{3} - 2 y + 3.

Passo 4

Agora a segunda derivada parcial em x: \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}(x,y) é a derivada de \dfrac{\partial z}{\partial x} em relação a x, mantendo y fixo.
Partimos de \dfrac{\partial z}{\partial x}(x,y) = -8 x^{3} - 2 y + 3.
Derivando em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-8 x^{3}\big) = -8 \cdot 3 x^{2} = -24 x^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-2 y\big) = 0.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(3\big) = 0.
Logo,
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}(x,y) = -24 x^{2}.
Avaliação no ponto (-1,1):
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}(-1,1) = -24 \cdot (-1)^{2} = -24.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial z}{\partial y}(x,y) derivando termo a termo em relação a y, mantendo x fixo.
Da função \,z(x,y) = -2 x^{4} + y^{3} - 2 x y + 3 x - 2 y, temos:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-2 x^{4}\big) = 0 (pois x é constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(y^{3}\big) = 3 y^{2}.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-2 x y\big) = -2 x.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(3 x\big) = 0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-2 y\big) = -2.
Somando,
\dfrac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 3 y^{2} - 2 x - 2.

Passo 6

Agora a segunda derivada parcial em y: \dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}(x,y) é a derivada de \dfrac{\partial z}{\partial y} em relação a y.
Partimos de \dfrac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 3 y^{2} - 2 x - 2.
Derivando em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(3 y^{2}\big) = 6 y.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-2 x\big) = 0.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-2\big) = 0.
Logo,
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}(x,y) = 6 y.
Avaliação no ponto (-1,1):
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}(-1,1) = 6 \cdot 1 = 6.

Passo 7

Calcular a derivada mista \dfrac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}(x,y), que é a derivada em y de \dfrac{\partial z}{\partial x}(x,y).
Temos \dfrac{\partial z}{\partial x}(x,y) = -8 x^{3} - 2 y + 3.
Derivando essa expressão em relação a y:
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-8 x^{3}\big) = 0 (pois x é tratado como constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(-2 y\big) = -2.
  • \dfrac{\partial}{\partial y}\big(3\big) = 0.
Portanto,
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}(x,y) = -2.
Avaliação no ponto (-1,1)
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}(-1,1) = -2.

Passo 8

Calcular a derivada mista na outra ordem \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}(x,y), isto é, derivar \dfrac{\partial z}{\partial y}(x,y) em relação a x.
Lembrando \dfrac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 3 y^{2} - 2 x - 2.
Derivando em relação a x:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(3 y^{2}\big) = 0 (pois y é constante).
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-2 x\big) = -2.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}\big(-2\big) = 0.
Logo,
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}(x,y) = -2,
e, em particular,
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}(-1,1) = -2.

Passo 9

Por que as duas derivadas mistas são iguais neste caso?
  • A função z(x,y) é um polinômio (função muito suave): todas as derivadas parciais existentes são contínuas em todo \mathbb{R}^{2}. Pelo teorema de Clairaut (ou teorema da igualdade das derivadas mistas), quando as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas numa vizinhança do ponto, então
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}(x,y).
Assim, para o nosso polinômio, as duas mistas coincidem e ambas valem -2 no ponto (-1,1).

Resposta

\dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}(-1,1) = -24
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}(-1,1) = 6
\dfrac{\partial^{2} z}{\partial y\partial x}(-1,1) = \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x\partial y}(-1,1) = -2

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