Seja a função f dada por f(x, y)=\frac{x^{2}+(y+1)^{2}+x^{4}}{x^{2}+(y+1)^{2}} para (x, y) \neq(0,-1) e f(0,-1)=\alpha.
Determine o valor de \alpha para que a função f seja contínua em (0,-1).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x^{2}+(y+1)^{2}+x^{4}}{x^{2}+(y+1)^{2}}
para (x,y)\neq(0,-1) e informa que f(0,-1)=\alpha.
A pergunta é: determinar o valor de \alpha para que f seja contínua em (0,-1).

Passo 2

Lembrete prático (o que significa continuidade aqui): para que f seja contínua em (0,-1) é necessário e suficiente que
\lim_{(x,y)\to(0,-1)} f(x,y)=\alpha.
Portanto precisamos calcular \lim_{(x,y)\to(0,-1)} f(x,y) e igualar ao valor \alpha.

Passo 3

Primeiro simplificamos a expressão de f (válida para (x,y)\neq(0,-1)):
f(x,y)=\frac{x^{2}+(y+1)^{2}+x^{4}}{x^{2}+(y+1)^{2}} =1+\frac{x^{4}}{x^{2}+(y+1)^{2}}.
Agora o problema reduz-se a encontrar
\lim_{(x,y)\to(0,-1)} \frac{x^{4}}{x^{2}+(y+1)^{2}}.

Passo 4

Vamos estimar a fração para mostrar que ela tende a 0. Note que (y+1)^{2}\ge 0, logo
x^{2}+(y+1)^{2}\ge x^{2}.
Como o numerador x^{4} é não negativo, podemos dividir as duas partes da desigualdade pela quantidade positiva x^{2}+(y+1)^{2} e obter
0\le \frac{x^{4}}{x^{2}+(y+1)^{2}}\le \frac{x^{4}}{x^{2}}=x^{2},
valendo essa desigualdade para todos os pontos com (x,y)\neq(0,-1) (quando x=0 o lado esquerdo é 0 e a desigualdade também é verdadeira).

Passo 5

Agora aplicamos o teorema do aperto (squeeze theorem): sabemos que \lim_{(x,y)\to(0,-1)} 0=0 e que \lim_{(x,y)\to(0,-1)} x^{2}=0. Pela desigualdade do Passo 4, a quantidade \dfrac{x^{4}}{x^{2}+(y+1)^{2}} fica “apertada” entre 0 e x^{2}, portanto
\lim_{(x,y)\to(0,-1)} \frac{x^{4}}{x^{2}+(y+1)^{2}}=0.
Substituindo de volta em f (Passo 3) obtemos
\lim_{(x,y)\to(0,-1)} f(x,y)=1+0=1.

Passo 6

Conclusão: para que f seja contínua em (0,-1) devemos tomar \alpha igual ao limite calculado, ou seja \alpha=1. Boa! Isso mostra que a possível armadilha (ter caminhos diferentes) não acontece aqui porque o termo extra tende a zero de forma uniforme pelo argumento de aperto.

Resposta

\alpha=1

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