Seja a função
dada por
para
e
.
Determine o valor de
para que a função
seja contínua em
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
para
e informa que
.
A pergunta é: determinar o valor de para que
seja contínua em
.
A pergunta é: determinar o valor de
Passo 2
Lembrete prático (o que significa continuidade aqui): para que
seja contínua em
é necessário e suficiente que
Portanto precisamos calcular
e igualar ao valor
.
Passo 3
Primeiro simplificamos a expressão de
(válida para
):
Agora o problema reduz-se a encontrar
Passo 4
Vamos estimar a fração para mostrar que ela tende a
. Note que
, logo
Como o numerador
é não negativo, podemos dividir as duas partes da desigualdade pela quantidade positiva
e obter
valendo essa desigualdade para todos os pontos com
(quando
o lado esquerdo é
e a desigualdade também é verdadeira).
Passo 5
Agora aplicamos o teorema do aperto (squeeze theorem): sabemos que
e que
. Pela desigualdade do Passo 4, a quantidade
fica “apertada” entre
e
, portanto
Substituindo de volta em
(Passo 3) obtemos
Passo 6
Conclusão: para que
seja contínua em
devemos tomar
igual ao limite calculado, ou seja
. Boa! Isso mostra que a possível armadilha (ter caminhos diferentes) não acontece aqui porque o termo extra tende a zero de forma uniforme pelo argumento de aperto.