Seja a função f dada por f(x, y)=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} para (x, y) \neq(0,0) e f(0,0)=\alpha. Determine o valor de \alpha para que a função f seja contínua em ( 0,0 ).

Passo 1

O enunciado nos dá a função f definida por
f(x,y)=\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}\quad\text{para }(x,y)\neq(0,0),
e f(0,0)=\alpha.
A pergunta é: determinar o valor de \alpha para que f seja contínua em (0,0).
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula de f para pontos distintos de (0,0).
  • O valor em (0,0) está definido por uma constante \alpha desconhecida.
  • Para continuidade em (0,0) é necessário que \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista e seja igual a f(0,0)=\alpha.

Passo 2

Relembrando (de forma simples) o que precisamos mostrar para continuidade: uma função de duas variáveis f é contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)
existe e é igual a f(0,0). Assim, o passo chave é calcular o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}. Se esse limite for um número L, então devemos escolher \alpha=L.

Passo 3

Estratégia para calcular o limite: usar coordenadas polares. Por que isso ajuda? Porque o comportamento ao redor da origem muitas vezes depende apenas da distância ao ponto (0,0), e em coordenadas polares a distância é o parâmetro r que vai a 0. Em polares definimos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 e \theta é o ângulo. Ao mandar (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to0^{+} com \theta variando.

Passo 4

Substituindo x e y em polares na expressão de f:
x y^{2}=(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}=r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta,
e
x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0) a função fica
f(x,y)=\frac{r^{3}\cos\theta\,\sin^{2}\theta}{r^{2}}=r\cos\theta\,\sin^{2}\theta.

Passo 5

Agora avaliamos o limite quando r\to0^{+}. Observe que \cos\theta e \sin^{2}\theta são funções limitadas em \theta: |\cos\theta|\le1 e 0\le\sin^{2}\theta\le1. Assim, o valor absoluto de f satisfaz
\left|f(x,y)\right|=\left|r\cos\theta\,\sin^{2}\theta\right|\le r\cdot|\cos\theta|\cdot\sin^{2}\theta\le r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \left|f(x,y)\right|\le r\to0. Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), isso implica
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 6

Conclusão: o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) existe e é igual a 0. Para que f seja contínua em (0,0) precisamos ter f(0,0)=\alpha igual a esse limite. Portanto devemos escolher \alpha=0.

Resposta

\alpha=0

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