A função é f(x,y)=\dfrac{2(y+1)x^{3}}{\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}}.
O ponto onde avaliaremos o limite é (x,y)=(0,-1).
Pergunta a responder: o limite existe? Se existir, qual é o seu valor?
Passo 2
Primeira ideia útil: deslocar a origem para simplificar a expressão. Defino as novas variáveis
u = x,\qquad v = y+1.
Com isso o ponto (x,y)\to(0,-1) corresponde a (u,v)\to(0,0) e a função fica
g(u,v)=\frac{2\,v\,u^{3}}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.
É absolutamente válido fazer essa mudança — é só uma renomeação que centraliza o ponto de interesse em (0,0), o que facilita manipular distâncias e desigualdades.
Passo 3
Vou usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) em \mathbb{R}^{2}. Em palavras: se |g(u,v)|\le h(u,v) numa vizinhança de (0,0) e h(u,v)\to0 quando (u,v)\to(0,0), então g(u,v)\to0.
Calculo o valor absoluto e aplico desigualdades simples:
Intuitivamente: o numerador tem fator x^{3}(y+1), que é de ordem maior (mais rápido a zero) do que a raiz quadrada do somatório de quadrados no denominador, por isso a razão desaparece.