Verificar se o seguinte limite existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,-1)} \frac{2(y+1) x^{3}}{\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,-1)} \frac{2(y+1)x^{3}}{\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{2(y+1)x^{3}}{\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}}.
  • O ponto onde avaliaremos o limite é (x,y)=(0,-1).
    Pergunta a responder: o limite existe? Se existir, qual é o seu valor?

Passo 2

Primeira ideia útil: deslocar a origem para simplificar a expressão. Defino as novas variáveis
u = x,\qquad v = y+1.
Com isso o ponto (x,y)\to(0,-1) corresponde a (u,v)\to(0,0) e a função fica
g(u,v)=\frac{2\,v\,u^{3}}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.
É absolutamente válido fazer essa mudança — é só uma renomeação que centraliza o ponto de interesse em (0,0), o que facilita manipular distâncias e desigualdades.

Passo 3

Vou usar o Teorema do Confronto (squeeze theorem) em \mathbb{R}^{2}. Em palavras: se |g(u,v)|\le h(u,v) numa vizinhança de (0,0) e h(u,v)\to0 quando (u,v)\to(0,0), então g(u,v)\to0.
Calculo o valor absoluto e aplico desigualdades simples:
|g(u,v)|=\left|\frac{2\,v\,u^{3}}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\right| =2\,|u|^{3}\,\frac{|v|}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}.
Observe que, pela definição de norma euclidiana, |v|\le\sqrt{u^{2}+v^{2}}. Logo a fração satisfaz
\frac{|v|}{\sqrt{u^{2}+v^{2}}}\le 1.
Assim
|g(u,v)|\le 2\,|u|^{3}.

Passo 4

Para relacionar |u|^{3} com a distância ao ponto (0,0), note que
|u|\le\sqrt{u^{2}+v^{2}},
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|u|^{3}\le\bigl(\sqrt{u^{2}+v^{2}}\bigr)^{3}=\bigl(\sqrt{u^{2}+v^{2}}\bigr)^{3}.
Denotando r=\sqrt{u^{2}+v^{2}} (a distância de (u,v) a (0,0)), obtemos a desigualdade encadeada
|g(u,v)|\le 2\,|u|^{3}\le 2\,r^{3}.
Como r\to0 quando (u,v)\to(0,0), a função 2\,r^{3} tende a 0. Pelo Teorema do Confronto, segue que g(u,v)\to0 quando (u,v)\to(0,0).

Passo 5

Voltando às variáveis originais, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,-1)} \frac{2(y+1)x^{3}}{\sqrt{x^{2}+(y+1)^{2}}}=0.
Intuitivamente: o numerador tem fator x^{3}(y+1), que é de ordem maior (mais rápido a zero) do que a raiz quadrada do somatório de quadrados no denominador, por isso a razão desaparece.
Força aí — o limite existe e é 0!

Resposta

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