Seja a função
. Obtenha o polinômio de Taylor de ordem três
em torno de
e use-o para calcular o valor aproximado de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o polinômio de Taylor de ordem três para a função
em torno de
. Depois, vamos usar esse polinômio para calcular uma aproximação de
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e da série de Taylor, que nos ajuda a aproximar funções por polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de Taylor. Basicamente, é uma forma de aproximar uma função suave perto de um ponto específico usando um polinômio. Nesse caso, queremos expandir
em torno de
até a terceira ordem, ou seja, incluindo termos até
.
Passo 3
Para construir o polinômio de Taylor
, precisamos calcular as derivadas de
até a terceira ordem e avaliá-las em
. A fórmula geral do polinômio de Taylor de ordem três é:
Passo 4
Vamos começar calculando
:
Passo 5
Agora, encontramos a primeira derivada
. Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Avaliando em
:
Passo 6
Vamos para a segunda derivada
:
Avaliando em
:
Passo 7
Agora, a terceira derivada
:
Avaliando em
:
Passo 8
Com todas as derivadas calculadas, montamos o polinômio de Taylor de ordem três:
Passo 9
Agora, para encontrar
usando
:
Resposta
O valor aproximado de
usando o polinômio de Taylor de ordem três é
.