Seja a função
a. Analise a continuidade de
em
. Justifique sua resposta.
b. Esboce 0 gráfico de
.
b. Esboce 0 gráfico de
Passo 1
Beleza, o exercício pede duas coisas sobre a função
Conteúdo: continuidade de função em ponto e esboço de gráfico de função definida por partes (com valor absoluto).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Entender como simplificar
para e . - Calcular limites laterais em
. - Comparar limites com
para ver continuidade. - Desenhar reta horizontal para cada ramo e marcar os pontos (abertos/fechados).
Passo 2
Analisando
|x-3|x-3 =x-3x-3 =1 :
- Se
, aí|x-3|x-3 =3-xx-3 =-(x-3)x-3 =-1 , entãog(x)= -1,&x<3, 1,&x>3 - Se
, aí , logo
Portanto, para
:
Agora os limites em
:
- Limite pela esquerda:
- Limite pela direita:
Como os dois limites laterais são diferentes , o limite não existe.
E note que .
Condição de continuidade em :-
existe; -
.
Aqui nem o (1) nem o (2) valem, então é descontínua em .
-
Passo 3
Esboço do gráfico de
:
- Para todo
, . É uma reta horizontal em . Como em esse ramo não vale, colocamos um círculo aberto em . - Para todo
, . É uma reta horizontal em . Em esse ramo também não vale, então círculo aberto em . - Por definição,
. Isso é um ponto preenchido em .
Visualmente:
- Linha contínua em
à esquerda de com ponto aberto em . - Linha contínua em
à direita de com ponto aberto em , mais um ponto cheio em .
Resposta
a)
é descontínua em
, pois
.
b) Gráfico: reta horizontal em para
(círculo aberto em
); reta horizontal em
para
(círculo aberto em
); ponto cheio em
.
b) Gráfico: reta horizontal em