Seja a função
g(x)=ccc |x-3|x-3 & se x neq 3 1 & se x=3
a. Analise a continuidade de g em x=3. Justifique sua resposta.
b. Esboce 0 gráfico de g.

Passo 1

Beleza, o exercício pede duas coisas sobre a função
g(x)= dfrac|x-3|x-3,&xneq3,[6pt] 1,&x=3
Conteúdo: continuidade de função em ponto e esboço de gráfico de função definida por partes (com valor absoluto).
O que vamos precisar:
  • Entender como simplificar para e .
  • Calcular limites laterais em .
  • Comparar limites com para ver continuidade.
  • Desenhar reta horizontal para cada ramo e marcar os pontos (abertos/fechados).

Passo 2

Analisando |x-3|x-3 =x-3x-3 =1 :
  • Se |x-3|x-3 =3-xx-3 =-(x-3)x-3 =-1 , aí g(x)= -1,&x<3, 1,&x>3 , então
  • Se , aí , logo
Portanto, para :
Agora os limites em :
  • Limite pela esquerda:
  • Limite pela direita:

    Como os dois limites laterais são diferentes , o limite não existe.
    E note que .
    Condição de continuidade em :
    1. existe;
    2. .
      Aqui nem o (1) nem o (2) valem, então é descontínua em .

Passo 3

Esboço do gráfico de :
  1. Para todo , . É uma reta horizontal em . Como em esse ramo não vale, colocamos um círculo aberto em .
  2. Para todo , . É uma reta horizontal em . Em esse ramo também não vale, então círculo aberto em .
  3. Por definição, . Isso é um ponto preenchido em .
Visualmente:
  • Linha contínua em à esquerda de com ponto aberto em .
  • Linha contínua em à direita de com ponto aberto em , mais um ponto cheio em .

Resposta

a) é descontínua em , pois
.
b) Gráfico: reta horizontal em para (círculo aberto em ); reta horizontal em para (círculo aberto em ); ponto cheio em .

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